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von dem Polygonnetz Von der Ebene ausging, über der die Uberlagerungsfläche aufzubauen ist. Es war dadurch für die in Betracht gezogenen besonderen Fälle(siehe Fuß- note ²)) zugleich ein Existenzbeweis der zugehörigen Fuchs- schen Funktionen erbracht. Dabei führte Prof. Schlesinger ein Iterationsprinzip ein, das später das Verfahren der kranz- förmigen Umlagerung genannt wurde. Auf Veranlassung von Prof. Schlesinger befaßte ich mich mit diesen Fragen von neuem. Es erschien wünschenswert, an Stelle des Verfahrens der kranzförmigen Umlagerung, das für eine numerische Berechnung von Schritt zu Schritt immer größere Schwierigkeiten bereitet, solche Methoden aufzusuchen, die eine numerische Auswertung gestatten. Die Ergebnisse der in dieser Richtung angestellten Untersuchungen sind im Folgenden zusammengestellt. Im§1 wird in üblicher Weise die UÜberlagerungsfläche aufgebaut.§ 2 bringt den Konver- genzbeweis für die sich bei Ausschöpfung der Uberlagerungs- fläche ergebende Funktionenfolge.§ 3 zeigt, wie man im Falle einer symmetrischen Uberlagerungsfläche geeignete symmetrische Teilbereiche auf den Einheitskreis abbilden kann mit Hilfe von algebraisch herstellbaren Funktionen. §4 endlich gibt eine Anzahl Methoden, die durch numerisch auswertbare Folgen von algebraischen Funktionen die Ab- bildungsfunktion der Uberlagerungsfläche liefern.

§ 1.

Wir beginnen mit der Konstruktion der Uberlagerungs- fläche unter der Annahme, daß n. Verzweigungspunkte al, a,. an Vorhanden sind, und daß die zugehörigen Ver- zweigungszahlen sämtlich unendlich groß sind. Von dem Verzweigungspunkt au ziehen wir eine gerade Verbindungs- linie nach as, von dort eine gerade Verbindungslinie nach as us W., endlich verbinden wir So an- mit au. Wir können die Verzweigungspunkte so benennen, daß dieser Kurven- zug sich nicht überschneidet. Wir schneiden die X-Ebene längs dieses Kurvenzuges auf und nennen das eine Ufer des Schnittes das positive, das andere das negative. Die

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