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in der eigentlichen Arithmetik nicht weiter gekommen ſein. So hat ſich auch Grunert in der Lehre von den Potenzen mit negativen und gebrochnen Erponenten mehr oder weniger den Anſichten Ohm's angeſchloſſen, dadurch aber das Uebel nur aus einer Poſition in eine andere gedrängt, ohne es in der letzten zu heben. Nun ſind aber ſolche einzelne Punkte übereinſtimmender Meinung bei ſonſtiger Verſchiedenheit der Anſichten beſonders geeig⸗ net, eine vollſtändige, durchgreifende Uebereinſtimmung, eine Einigkeit in allen Punkten herbeizuführen. In die⸗ ſem Betracht ſagt Herbart an einer Stelle ſeines Lehrbuchs zur Einleitung in die Philoſophie:„Wenn in einer Wiſſenſchaft von einander Abweichende wünſchen, ſich zu vereinigen, ſo ſuchen ſie zuerſt die Punkte auf, bis zu welchen ſie einſtimmig denken; indem ſie vorausſetzen, es gebe einen nothwendigen Fortſchritt im Denken, welcher, ſobald er gefunden wäre, die gewünſchte Einſtimmung hervorbringen würde. Genauigkeit im Beſtimmen und Erwägen derjenigen Begriffe, von welchen man ausgeht, iſt dabei eine nothwendige Bedingung.“ Wir wollen deßwegen von Zugeſtandenem, Uebereinſtimmendem ausgehen, und dann zuſehen, wie ſich die nicht in Ueberein⸗ ſtimmung befindlichen Meinungen und Anſichten dazu ſtellen, logiſch verhalten.
4 Erhielt man in einer algebraiſchen Gleichung, die ſich blos auf zählbare, gar keiner Theilung in ali⸗ quote Theile fähige Gegenſtände bezog, für x keine Zahl, ſondern etwa einen keiner Zahl gleich kommenden OQuotienten, ſo verwarf man die Gleichung, oder, was hier auf daſſelbe hinauskommt, die der Gleichung zu Grunde liegende Aufgabe als eine etwas Ungereimtes in ſich ſchließende, Widerſprechendes fordernde, indem man, und gewiß mit vollem Rechte ſagte, daß ein Bruch und ein ſeinem Begriff nach untheilbarer Gegenſtand zwei einander widerſprechende Vorſtellungen ſeien. Wäre man nun nur einen Schritt weiter gegangen, und hätte genau daſſelbe Raiſonnement auf die Ableitung des X angewendet, was man bei dem Reſultate Xx ſo klar einſah, und ſo überzeugend geltend machte, ſo würde man in den meiſten Fällen denſelben Widerſprüchen begegnet ſein, und nicht an eine Verallgemeinerung des Größenbegriffs gedacht haben, wo es ſich ganz deutlich um eine Verallgemeinerung des Operationsbegriffs und der damit zuſammenhangenden Zahlverknüpfungen handelte. Er⸗ hielt man z. B. aus der Gleichung mx+³a= h bei zu Grunde gelegten bloß zählbaren Gegenſtänden für X eine Zahl(poſitive, ganze), oder ging m in(b— a) auf, ſo hatte man nichts mehr zu erinnern, obgleich, wenn
Cn- a b. b A. b.2 a man beiſpielsweiſe ſo abgeleitet hatte: Iir ee Ii folglich Xe u mithin A=r i, man ſowohl bei 7 als auch bei vr⸗ ſich hätte ſagen ſollen, daß nach dem vorigen Raiſonnement dieſe Ableitung jedesmal hätte ver⸗
worfen werden müſſen, wenn m nicht zugleich in a und in b aufgegangen wäre. So ſagt Grunert bei Gelegen⸗ heit der Lehre von den Potenzen mit dem Exponenten 0:„Es iſt ao= 1, wobei nur zu bemerken, daß ao ein bloßes Symbol iſt, welches erhalten wird, wenn man, eigentlich auf unerlaubte Weiſe, den Satz am: an= aman über ſeine Gränzen ausdehnt,“ ferner bei den Potenzen mit negativen Exponenten:„Die Formel am: an= am-n unterliegt der Bedingung m= n(es iſt erſt von den eigentlichen Potenzen und a0 die Rede geweſen). Wenden
wir aber dieſe Formel auf einen Fall, wo m=n iſt, z. B. auf den Fall as: ar, wenn auch allerdings eigent⸗
m lich auf unerlaubte Weiſe, an, ſo erhalten wir as: a= a3- 7= a-4.“ In Beziehung auf an für den Fall, . daß n nicht in m aufgeht, geht er in ähnlicher Weiſe zu Werke. Francoeur ſpricht ſich über ao, a-p, am gerade
n
ſo aus. Beide führen dieſe Symbole auf gleichwerthige Vierſpeziesformen zurück, indem ſie ao, a-p, am beziehlich
für 1, und w2m erklären(bei Vam freilich vorausſetzend, daß es immer einen Vierſpeziesausdruck gebe,