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des Gegenſatzes bei der Vereinigung, der Richtungsverſchiedenheit bei der Entſtehung im Stande ſein, die arithm. Operationen als Operationen mit den der Zahl zu Grunde liegenden gezählten oder gemeſſenen Gegenſtänden einführen und regeln zu können, ſo müßte das doch immer fehlſchlagen in allen denjenigen Gleichungen, wo von ſolchen Größen, oder von ſolchen Größeneigenſchaften gar nicht die Rede ſein kann, und da es nach dem Vo⸗ rigen doch genug Gleichungen giebt, in denen ſolche Größeneigenſchaften und Größenbeziehungen gar nicht vor⸗ kommen, und ſich doch alle die arithmetiſchen Formen zeigen, die man mit dem Namen: Brüche, poſitive und negative, irrationale und imaginäre Größen belegt hat, ſo muß man auf die Erklärung dieſer Formen durch Zuhülfe⸗ nahme ſolcher Unterſchiede in den Größen ganz und gar verzichten, und ſich allein nach Hülfe bei der Erweite⸗ rung der Operationen mit Zahlen(poſ., ganzen, Gliedern der natürl. Zahlenreihe) umſehen, erwartend, daß die ſo gewonnenen und feſtgeſtellten Formen ſich in allen andern Gleichungen als Ausdrücke arithmetiſcher Größen⸗ beziehungen werden verwenden laſſen. Es ſtellen ſich darnach alle dieſe verſchiedene, in der Arithmetik vorkom⸗ mende, ſogenannte Größen ganz einfach blos als verſchiedene Operationsformen, blos als Träger der verſchie⸗ denen Operationsthätigkeiten dar, und die imaginären Größen ſind dann nicht mehr und nicht weniger imaginär als die Irrationalzahlen, dieſe als die poſitiven und negativen Größen, dieſe als die gebrochenen Zahlen; ſie ſtehen alle in gleicher Reihe. Was das Auftreten und Weſen der einen Art erklärt, erklärt in ganz gleicher Weiſe das Auftreten und Weſen der andern. War einmal der gemeinſchaftliche Urſprung der in der Arithmetik auftretenden verſchiednen Zahlverknüpfungen und damit der innere Zuſammenhang unter denſelben erkannt, ſo bedurfte es nicht großer Anſtrengungen mehr einzuſehen, daß die fruchtbarſte Quelle der entdeckten Widerſprüche in der dem menſchlichen Geiſte inwohnenden Neigung vom Beſondern auf das Allgemeine zu ſchließen, liege, und daß in der Arithmetik dieſer Neigung beſonders viel Nahrung zufließe, weil in ihr die genannte Schlußweiſe meiſtens auf richtige Reſultate führt. Es iſt bekanntlich Ohm, der dieſe Anſicht zuerſt in größter Klarheit aus⸗ geſprochen, und in ſtrengſter Conſequenz für die ganze Arithmetik durchgeführt hat. Seitdem ſind viel Lehrbücher der Arithmetik, Algebra, allgemeinen Größenlehre und andere mathematiſche Schriften erſchienen, die ſich ganz und gar, manigmal mit für das ganze Syſtem, für die Grundanſicht unweſentlichen Abweichungen, dieſer Auf⸗ faſſung Ohm's angeſchloſſen haben. Auffallend aber iſt es, daß manche Mathematiker und Mathematiklehrer geglaubt haben, in dieſen oder jenen Parthien die alte Anſicht beibehalten zu können, während ſie in andern ganz und gar den neuen Weg betreten. So hat ſich der durch wiſſenſchaftliche Strenge ausgezeichnete Lehrer und Gelehrte Stein in ſeinem vortrefflichen Werke:„die Elemente der Algebra, Trier 1828“ in Bezug auf die ſogenannten negativen Größen, auf die Null, auf die imaginären Ausdrücke ganz und gar den Ohm'ſchen Anſichten angeſchloſſen, während er die allgemeinen Quotienten in herkömmlicher Weiſe als gebrochene Zahlen, Maaßzahlen meint einführen und behandeln zu müſſen. Daß man in der Lehre von den gebrochenen Zahlen, als Maaßzahlen unbegränzt theilbarer Gegenſtände gedacht, recht gründlich verfahren kann, iſt ſchon im Vorigen angegeben, und theilweiſe ausgeführt, aber daß man von einer andern als einer Operations⸗Bedeutung des Bruches ſelbſt in dem Falle ſprach, wo nichts gebrochen, in aliquote Theile getheilt werden kann, das führte zu Ungereimtheiten und Widerſprüchen. So weiß man wohl zu ſagen, was% Thaler bedeutet, aber was ſoll ¾ eines Punktes, einer Ambe ꝛc. bedeuten, oder was ſoll es heißen, wenn man ſagt%¾ bedeute 3 mal der 4te Theil von 1, da es gar keine Zahl giebt, die mit 4 multiplicirt ein Product liefert, das gleich 1 geſetzt werden kann. Behandelte man aber auch die Lehre von den Brüchen in ihrer Eigenſchaft als Maaßzahlen in der vorhin angegebnen, zuläſſigen Weiſe, ſo würde man dadurch, wie Profeſſor Radike in ſeiner trefflichen Ana⸗ lyſis ganz richtig bemerkt, doch nicht der Pflicht entbunden ſein, die allgemeinen Quotienten ganz unabhängig von den gebrochnen Zahlen in einer ihrem Urſprunge und Weſen entſprechenden Weiſe zu behandeln, und ſomit