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Unſinniges vorausgeſetzt oder gefordert war, imaginäre Zahlen auftreten. Nach dem veränderten Uebertragungs⸗ geſetz können ſowohl gleich im Anfang, als auch beim Schluß der arithmetiſchen Arbeit imaginäre Zahlen vorkom⸗ men, indem man z. B. die Maaßzahl jedes Perpendikels auf eine als Abſciſſenachſe gedachte Gerade, deren Stücke man blos mit ihren reellen Maaßzahlen einführt, mit!— 1 multiplicirt, und dieſes Product als arithmetiſchen Werth des Perpendikels in die Rechnung bringt. Es iſt hier nicht der Ort, weiter auszuführen, wie man durch weitere Benutzung der imaginären Zahlen, durch Einführung des Richtungscoefficienten, durch entſprechende Aenderungen in den Begriffen und Definitionen des Addirens, Subtrahirens ꝛc. von geraden Linien verſchiedener Richtung ꝛc. glaubt dahin zu gelangen, daß man für jede einzelne Operation und jedes einzelne Reſultat in der Rechnung auch eine entſprechende Operation und ein entſprechendes Reſultat in der Geometrie werde aufweiſen können, und umgekehrt. Es iſt für uns genug gezeigt zu haben, daß mit dieſer ſchönen Anwendung der imaginären Zahlen auf die Geometrie für die Aufklärung über das Weſen derſelben gerade ſo wenig gethan iſt, wie wir durch die Verwendung der allgemeinen OQuotienten zweier Zahlen zu Maaßzahlen über dir Natur dieſer Quotienten nichts Genaueres erfahren haben, noch erfahren können. Wenn wir aber auch zugeben wollten, daß ſich durch eine begriffliche, arithm. Auffaſſung der Abhängigkeit räumlicher Gegenſtände nach Größe, Ort, Richtung das Weſen der verſchiedenen Zahlausdrücke erfaſſen ließe, was würden denn alle dieſe Ausdrücke bedeuten, wenn ſie ſich irgendwo zeigten, wo der Natur des Gegenſtandes nach gar nicht von einer unbedingten Theilbarkeit, noch von irgend einer Richtung die Rede ſein kann? Es handle ſich z. B. in der Gleichung XG+9= 12 X um die Beſtimmung einer Anzahl von Punkten, Amben, überhaupt von Dinen, bei denen weder von einer unbedingten Theilbarkeit noch von irgend einer Richtung geſprochen werden kann. Mag man nun die Ableitung des X bis

3/ 3 zu dem Ausdruck V ih 475+ V he. ere 422 oder dieſen Ausdruck ſelbſt, oder ſeine Um⸗

3/ 3 — 3—— 3——— wandlung in N(E)+ vC=e)„ferner in 3 b 6— 3 7, dann in

3 3 1 5—— 2 oder zuletzt in 3 anſehen, überall würde man auf etwas Unausführbares, Unmögliches ſtoßen, wollte

man nach der ältern, ſo eben angegebenen Anſicht glauben, daß die Diviſion eine Theilung der gezählten oder gemeſſenen Dinge vorausſetze, das Imaginäre auf eine Richtungsverſchiedenheit in den gemeſſenen Dingen hin⸗ weiſe. Hätte man blos die Richtigkeit des Endreſultats einer Auflöſung im Auge, ſo könnte man öfters ver⸗ mittelſt Austauſch einer der Rechnung urſprünglich zu Grunde liegenden Größe gegen eine andere geeignete die Operationen an dieſer Größe ausführen, die an der anfänglichen gar nicht auszuführen waren. Bezöge ſich eine Gleichung zwiſchen X, m, n ꝛc. z. B. auf untheilbare Gegenſtände, ſo ließe ſich fragen, ob wir nicht zu demſelben Werthe für X gelangen würden, wenn wir die Gleichung ſo auffaßten, daß ſie ſich auf unbegränzt theilbare Gegenſtände beziehe. Und da es nicht bezweifelt werden kann, daß wenn eine Gleichung in Beziehung auf Punkte, Amben ec. richtig iſt, ſie auch in Beziehung auf eine Linieneinheit, einen Thaler ꝛc. richtig ſein muß, und wenn bei Zugrundelegung einer Linieneinheit man für Xx eine beſtimmte Zahl erhält, wodurch der algebrai⸗ ſchen Gleichung Gränze geleiſtet wird, dieſe Zahl dann auch gilt, wenn man die Gleichung wieder auf Punkte, Amben ꝛc. bezieht, ſo iſt durch dieſe Annahme die Richtigkeit des Endreſultates vollkommen geſichert, aber in Beziehung auf die Zwiſchenreſultate iſt man um keinen Schritt weiter gekommen, man hat vielmehr von vorn⸗ herein auf eine Operation an der urſprünglich zu Grunde gelegten Größe verzichtet.

Sollte man alſo auch dann und wann durch Berückſichtigung der Theilbarkeit, der Einſtimmigkeit und