½ A

dem Uebel abzuhelfen, zeigen ganz deutlich, daß man den Fehler oft ganz anderswo ſuchte, als wo er wirklich lag, und daß man glaubte, nur an dieſer oder jener Stelle wäre nachzuhelfen, alles übrige habe gute Wege, ruhe auf dem beſten Fundamente. So ſuchten die Einen das Uebel bei den ſogenannten negativen Zahlen, die Andern in der verkehrten Auffaſſung und Behandlung der Null, Etliche bei den Potenzen mit gebrochnem Expo⸗ nenten, Andere in der Feſtſtellung und Anwendung des Begriffs der ſogenannten irrationalen, beſonders der imaginären Größen. Alle aber giengen von der mehr oder weniger klar ausgeſprochnen Anſicht aus, daß die in der Arithmetik auftretenden verſchiedenen Zahlformen, je nachdem ſie Zahlen im gewöhnlichen Sinne darſtellten, oder nicht, von einer Verſchiedenheit der Beziehungen unter den der Rechnung zu Grunde gelegten Größen herrührten, und daß den Operationen mit den Zahlen ſtets eine Operation mit den durch die Zahlen repräſentirten Größen entſpräche. Darnach drückten die Zahlen(ganze, poſitive)) die Mengen gezählter Dinge aus, oder zeigten an, wie oft eine Maaßgröße in einer dieſer gleichartigen enthalten ſei; die gebrochnen Zahlen(Brüche und Quo⸗ tienten) gaben an, wie oft ein aliquoter Theil einer Maaßgröße genommen werden müſſe, um eine der zu meſ⸗ ſenden Größe gleiche zu erhalten; die entgegengeſetzten Zahlengrößen dachte man ſich als Maaßzahlen zweier in einem entſprechenden Gegenſatz ſtehender, gezählter oder gemeſſener Dinge, die Irrationalen als Maaßzahlen von Größen, die gegen eine beſtimmte Maaßeinheit ſich als incommenſurabel verhielten. Die Ausſage über deren Gleichheit und Ungleichheit richtete ſich nach der Gleichheit oder Ungleichheit der durch ſie dargeſtellten Größen (Mengen oder ontinuirlichen Größen). Die Art der Operation mit dieſen ſogenannten Zahlen(ganzen, ge⸗ brochnen, entgegengeſetzten, irrationalen, der 0) richtete ſich nach der Natur der Eigenſchaften und Beziehungen, die man ſich an und unter den gezählten und gemeſſenen Dingen gedacht hatte. Nur die imaginären Zahlen, die man gar nicht unter den Begriff der Größe ſtellen, oder an keine Eigenſchaft einer zu meſſenden Größe anlegen konnte, und die man deßwegen ſogar unmögliche Größen nannte, glaubte man nicht auf dieſe Weiſe unterbringen zu können. Lacroix meint daher, es wäre richtiger zu ſagen:„imaginäre Ausdrücke oder Symbole“, weil dieſe Ausdrücke keine Größen, alſo auch keine imaginäre ſeien. Aber ſeitdem Gauß auf eine ſchöne An⸗ wendung der imaginären Ausdrücke in der analytiſchen Geometrie aufmerkſam gemacht, und beſonders Herm. Scheffler in dem Werle:„Ueber das Verhältniß der Arithmetik zur Geometrie, insbeſondere über die geometriſche Bedeutung der imaginären Zahlen“ und in ſeinem:„Situationskalcül“ dieſen Gedanken am weiteſten und frucht⸗ barſten verfolgt hat, haben Viele geglaubt, daß ſie damit auch das Weſen der imaginären Größen genau erkannt, und denſelben ihre Stelle unter den übrigen Größen oder allgemeinen Eigenſchaften der Größen hin⸗ reichend geſichert hätten. Doch würde man bei dieſer Anſicht ſich gerade ſo irren, wie man ſich irren würde, wollte man glauben, daß damit das Weſen der allgemeinen Quotienten zweier Zahlen erfaßt ſei, weil dieſelben zu Maaßzahlen von Größen verwendet werden können, und man z. B. die Maaßzahl eines Ganzen(einer Summe) erhält, wenn man die Maaßzahlen aller Theile dieſes Ganzen(der einzelnen Summanden) bei Vor⸗ ausſetzung deſſelben Gemäßes gerade ſo addirt, wie es die Arithmetik bei der Addition der formloſen Zahlen oder der allgemeinen Quotienten vorſchreibt. Es handelt ſich nehmlich bei dieſer Gaußiſchen Anwendung der imagi⸗ nären Zahlen auf geometriſche, und mit dieſen in Rückſicht auf Stetigkeit, Theilbarkeit und Richtungsverſchieden⸗ heit gleichartige Gegenſtände nicht um eine genauere Auffaſſung und Erklärung des Weſens der imaginären Zah⸗ len, ſondern um eine fruchtbare Aenderung des Uebertragungsgeſetzes der Sprache der Arithmetik in die der Geometrie und umgekehrt. Sonſt wurden blos die reellen Zahlen als Maßzahlen für die geometriſchen Gegen⸗ ſtände eingeführt, und die geometriſchen Definitionen und Geſetze durch Gleichungen zwiſchen den Maaßzahlen der die geometriſchen Gebilde bedingenden Elemente ausgeſprochen, und die arithm. Ableitungen wieder in die Sprache der Geometrie übertragen. Nur in Mitte der arithm. Ableitung konnten und durften, wenn nichts 3