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nicht wundern, daß man bei den Wurzeln oder Potenzen mit gebrochnen Exponenten zu den widerſprechendſten Reſultaten gelangte. So ſagt Pasquich ganz allgemein: Wenn 2 Zahlen a und h gleich ſind, ſo müſſen auch alle gleichnamigen Potenzen und Wurzeln von ihnen gleich ſein; iſt aber a= b, ſo muß auch jede Wurzel und

Potenz von a größer ſein als die gleichnamige Wurzel und Potenz von b“. Ihm 3 a4)— v 7* vA.....

n m 1 m mT = am. Für an ſetzt er(a); für 971 72() für an= an.r. Da am= hu, 4 np mp wenn a= h, ſo ſetzt er auch a2= ar oder an= 1¹* Pasquich giebt als Grund dafür, daß/ anp

n mp = am ſein ſoll, an, es ſei ja(I) gerade ſo gut anp, als auch(am)= aup ſei. Francoeur ſagt für dieſen Fall: Die Wurzelausziehung und die Potenzirung ſind gerade ſo einander entgegengeſetzt als die Di⸗ viſion und die Multiplication. Selbſt Lacroir, der über die Realität und Vielwerthigkeit der Wurzeln ſehr klar und wahr ſpricht, und unter den vielen Werthen eines Wurzelausdrucks den poſitiven von allen übrigen unter⸗ ſcheidet, den erſtern Werth den arithmetiſchen, die übrigen die algebraiſchen nennt, giebt nicht an, wie man mit allgemeinen Wurzeln, die doch in der Arithmetik gerade ſo gut wie in der Algebra vorkommen, ſicher operiren 1+†x 294dx — Xx 1— 12

könne. Nachdem Tobias Mayer in ſeiner höhern Analyſis für reelle X bewieſen hat, daß dlog e¹ v=1 6X F 1

2 5— 1 + 2c. wird unmittelbar aus der e 1 1+ X+ 4 1— 3

ſetzt er für x ohne Weiteres tang„v- t, um auf die Gleichung Sin x= zu kommen.

Die Funktion.V=— 1V 1 2—3

+ ac. hergeleitet, obſchon letztere nur für reelle x erwieſen iſt. So hat alſo Kramp wohl recht, wenn er ſagt, daß er ſich vergeblich umgeſehen habe nach feſten, beſtimmten Definitionen für ſo manche arithm. Ausdrücke, und daß es ihm ſcheine, ein großer Theil der arithm. Lehrſätze ruhe auf einem Schluſſe vom Beſondern aufs Allgemeine.

Wenn man den Zuſtand der Arithmetik in dieſer Zeit des bloßen Erkennens und Aufſuchens von Wider⸗ ſprüchen, des Klagens und Fragens vergleicht mit dem Zuſtande der Geometrie, in welche nach Euklidiſcher Strenge und Sicherheit kein Begriff eher eingeführt wurde, bevor ſeine logiſche Realität durch eine genetiſche Definition nachgewieſen war, in der keine Diviſion eines Begriffes eher gegeben wurde, bevor man ihre Rich⸗ tigkeit aus der Definition abgeleitet hatte, in der man niemals die Converſe eines Lehrſatzes ohne vorhergegan⸗ genen Beweis als richtig hinſtellte, in der endlich ein Lehrſatz nie weiter ausgedehnt wurde, als die Gränzen ſeines Beweiſes reichten, und nun bedenkt, daß es dem Lehrer nicht ſowohl obliegt die Wiſſenſchaft zu erweitern, als den vorhandenen Schatz der Wiſſenſchaft zur formellen Bildung ſeiner Schüler zu verwenden, dann darf man ſich nicht ſo ſehr wundern, wenn mancher Schulmann anfieng der Arithmetik(mit Ausſchluß des gewöhn⸗ lichen Rechnens nach der Methode eines gründlichen Kopfrechnens) jegliche bildende Kraft abzuſprechen, und ſie als ein Erzeugniß der neuern Zeit und als eine Abweichung von der ſtrengen Methode und geiſtigen Zucht der Alten aus der Schule herauszuwünſchen. Doch glücklicher Weiſe ſind wir nicht bei dem bloßen Erkennen und Aufſuchen von Widerſprüchen und falſchen Reſultaten, auch nicht beim bloßen Klagen und Fragen ſtehen geblieben. Die Arithmetik iſt vielmehr in neuerer Zeit auf eine ſolche Stufe wiſſenſchaftlicher Ausbildung erhoben worden, daß ſie in Rückſicht auf Grundlage, Aufbau und ſyſtematiſchen Zuſammenhang ihrer Lehren der Geometrie der Alten vorzuſetzen, in Rückſicht auf Bündigkeit ihrer Beweiſe derſelben vollkommen gleich zu ſtellen ſein möchte. Doch nicht auf einmal iſt man zu dieſem Ziele gelangt. Schon die Art der Klagen und die Natur der Mittel,