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Summanden in den Multiplicator addirt“ nur unter Vorausſetzung einwerthiger Ausdrücke erwieſen hatte, ſo wendete man ihn ohne Weiteres auf mehrdeutige Potenzen, auf Potenzen mit gebrochnen Exponenten, an, ſetzte

ohne alle Einſchränkung z. B. 4. 4 4— 3. a 6= 4 4, und verfiel in Widerſprüche, ſobald man verſäumte, unter den vielen Werthen nur die gleichen zuſammenzuſtellen, wie das z. B. Euler und Lagrange verſäumt haben, als ſie aus((os X+ Sin x. V= 1) m=(os mx+ Sin mx. V- tu.(Cos x— Sinx. V- i) m=(os mx— Sin mx. V- 1 (CosX+ Sin x. V— 1) m(Cpsx- SinR.V. 1)m 2. (Cosx Sin X. V— 1) m—(CosXx— Sin x. V 1)m ₰ 2/— 1 nun bei der Anwendung auf einen gebrochenen Exponenten nicht die gleichen Werthe dieſer mehrdeutigen Potenzen zuſammenſtellten. In dem bekannten, an Kürze und Feinheit ausgezeichneten Beweiſe für die Richtigkeit des Binominaltheorems bei gebrochenen Exponenten kommt Euler, indem er ſchließt: MWen[fCm)In= f(mn),

1 ſo iſt fem)==[f(mn)*“, und nun für f(m) einen einwerthigen Ausdruck einführt, auf die unrichtige Ablei⸗

y 46. 7)

tung(1-+ 2)= 1 z2+ ac., wo die linke Seite der Gleichung im Allgemeinen n g n

ſchloſſen: Cos mx= und

Sin mx=, und

1 verſchiedene Werthe darſtellt, während die rechte Seite einwerthig iſt. Die Gleichung(a+. b) a.

1-2 — a 1, 1(*2¹), r I!

b2+ ac. iſt nur richtig, wenn man bei den nſseerhge Ausdrücken jedesmal

1/m 1/m—1 die gleichwerthigen zuſammenſtellt, oder wenn man(a+ b)= a(44 20 22(e) 1*)

ſetzt. Daß man ſelbſt in Beziehung auf Potenzen mit ganzen derünten 7 der AAneie ausgeſprochenen

(mn)— n m“ Behauptung, es ſei:„(P=— 4)* auf Widerſprüche gerathen mußte, verſteht ſich von ſelbſt;

denn wurde irgend einmal p=g, ſo erhielt der erſte Ausdruck alle mögliche Werthe, während der letzte ſich auf O reducirte. Anfänglich glaubte man für die Lehre von den Potenzen mit negativen und gebrochnen Exponenten genug gethan zu haben, wenn man zeigte, daß jedem Multipliciren der Potenzen mit gleichen Grundzahlen ein Addiren der Exponenten, dem Dividiren der erſtern ein Subtrahiren der letztern entſprach, ferner daß jede Po⸗ tenzirung einer Potenz mit einer Zahl auf eine Multiplication des Erponenten, jede Zerlegung einer Potenz in gleiche Factoren auf eine Diviſion des Exponenten führte. Daß dabei der urſprüngliche Begriff der Potenz, der als Exponent ſtets eine(ganze, poſitive) Zahl vorausſetzt, in den meiſten Fällen, nehmlich immer, wenn in m n m a die Zahl n größer war als m, und in an die Zahl n nicht in m aufgieng, verloren gehen mußte, konnte nicht verborgen bleiben, und ſo erklärten diejenigen, welche nicht nach unvollſtändigen Inductionen ver⸗ fahren, und die Lehrſätze, welche für Potenzen mit ganzen Erponenten erwieſen waren, nicht ohne Weiteres auf n 3 dieſe Scheinpotenzen ausdehnen wollten, am-n für am: an, ſo wie am für VA m, und ſuchten nun zu zeigen, daß man mit dieſen ſo difinirten Ausdrücken gerade ſo fortoperiren dürfe, als wenn man es noch immer mit eigentlichen Potenzen zu thun gehabt hätte. Ob aber dieſen Begriffen auch logiſche Realität zukomme, ob die Ausdrücke beſtimmte, einwerthige oder vielwerthige ſeien, darüber war nirgends die Rede, und ſo darf man ſich