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—„ 8. 14 am(m-4 1). daß X unendlich werthig iſt. Wendet man daſſelbe Raiſonnement auf den Ausdruck(m-176 für den 2(14¹) 2(1—1) Lacroir wohl Widerſprüche, falſche Reſultate(Sonderbarkeiten) L aber die Urſt ſage der detheidan hat er nicht genannt, wie auch keine für alle Fälle ausreichende Regel zur Vermeidung ſolcher Widerſprüche gegeben. Gerieth man in einer Beſtimmungsgleichung(algebraiſchen) einmal auf eine Ableitung ax+†b= ax+o, wo

Fall, daß aà= 2, m= 1 iſtt, alſo auf an, ſo wird er 3 oder 5. und nicht 2 2 oder 2. So hat

o nicht gleich b war, ſo ſetzte man, wie oben, für X= unledeuih einen unendlichen Werth(poſi tiv

oder negativ mußte man wohl unentſchieden laſſen, da x in der That auch= 16 geſetzt werden konnte),

indem man 0 für unendlich klein anſah, und ſich mit der Annahme beruhigte, daß für ein unendlich großes X wirklich ax †̈˖b= ax+o geſetzt werden nufe Hielt man aber dieſe Annahme feſt, und leitete z. B. aus

X— vy= a und cx— by= 0 für X ab Se für F=—2, und gieng dann zu der Annahme b=c über, ſo

kam man wieder zu andern ederrichen z. B. zu X— y= a und zugleich x— y= 0, wodurch a= 0, oder zu: c(— y)= 0O= ca. Obſchon man die Urſache der Erſcheinung noch nicht erkannt hatte, ſo wußte man ſich doch durch äußere Kennzeichen, Einſchlagen ungefährlicher Wege, nachherige Proben ſo ziemlich ſicher zu ſtel⸗ len, und fing an ſich über die Sache zu beruhigen. Lauter aber wurde wieder die Klage über das Erſcheinen von falſchen Reſultaten und Widerſprüchen bei Anwendung der Lehre von den unendlichen Reihen, den Potenzen, Wurzeln und Logarithmen. Der gründliche Mathematiker Abel iſt es, der beſonders über die Widerſprüche bei Anwendung der Lehre von den divergenten unendlichen Reihen klagt. Er ſagt:„Läßt man ſie(er meint die divergenten unendlichen Reihen) zu, ſo kann man beweiſen, was man will, und dieſe Reihen ſind es, welche ſo viel paradoxe Behauptungen hervorgerufen haben. Man wendet auf die unendlichen Reihen alle Operationen ſo an, als hätte man es mit endlichen Reihen zu thun. Iſt das wohl erlaubt?“ Wenn nun auch dieſe Klage nicht ganz ſo, wie ſie hier ſteht, gerechtfertigt erſcheint, und man mit unendlichen, nach ganzen(ſelbſt negativen) Potenzen von X fortlaufenden Reihen gerade ſo wie mit endlichen Funktionen von X deſſelben Fortſchreitungs⸗ geſetzes operiren darf, ja in ſehr viel Fällen operiren muß, da man ſich nicht immer vorher über ihre Conver⸗ genz oder Divergenz Kenntniß verſchaffen kann, gerade ſo wie man bei der Subtraction und Diviſion von endlichen Buchſtabenformen ſich ſelten darüber Gewißheit verſchaffen kann, ob das Reſultat der Operation noch einer Zahl im urſprünglichen Sinne gleichkommt oder nicht, ſo iſt es doch ganz richtig, daß, ſobald dieſe Reihen nicht mehr den allgemeinen Charakter an ſich tragen, vielmehr durch Specialiſirung des allgemeinen x ihre Form, alſo ihr eigentliches Weſen als Reihe eingebüßt haben, ſie nur noch dann gebraucht werden dürfen, wenn ſie einen endlichen Werth haben, wenn ſie convergent ſind. Kramp klagt über die Widerſprüche, die ſich ihm bei der Anwendung der Lehre von den Potenzen mit gebrochnem Exrponenten und den Logarithmen von negativen

Zahlen ergeben haben, fragt dann nach der Definition von(— 1) V2 und weiter von(— 1) X, wenn x ſowohl eine irrationale, imaginäre, als auch jede andere Art von Zahlverbindung in ſich ſchließen könne. Kramp ver⸗ muthet, daß die ganze damalige Theorie von den allgemeinen Potenzen, Wurzeln und Logarithmen in einem Schluſſe vom Beſondern auf das Allgemeine ruhe, und daß er darin wenigſtens dem größten Theile nach Recht hat, ſieht man, wenn man ſelbſt die beſten arithmetiſchen Schriften der frühern Zeit in dieſer Beziehung etwas näher betrachtet. Obſchon man den Satz:„Eine Summe iſt multiplicirt, wenn man die Producte aus jedem