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der, zur nten Potenz erhoben, gleich am ſei), und dann die bekannten Lehrſätze über die Operationen mit dieſen Symbolen folgen laſſen. Wendet man nun conſequenter Weiſe ganz daſſelbe Raiſonnement auf die Diviſion bei Gleichungen an, in denen nur von untheilbaren Gegenſtänden, etwa von Punkten, Amben ac. die Rede iſt, ſo muß man in allen den Fällen, wo die Diviſion nicht aufgeht, gerade ſo ſagen, daß man auch hier in uner⸗ laubter Weiſe von einer Diviſion ſpreche, da weder die Größe(der Punkt, die Ambe ꝛc.) noch die Zahl eine Im eigentliche Diviſion zulaſe. Nun aber konnte man für die Symbole ao, a-, an gleichwerthige Vierſpezies⸗ formen ſetzen, und dieſen Definitionen gemäß im Sinne der Operationen mit Vierſpeziesformen weiter operiren,

aber wem darf man für den Fall, daß b nicht in a aufgeht, alſo 5 keine Zahl ausdrückt, das Symbol v

gleich ſtellen, und was will es heißen, wenn verlangt wird, man ſolle die Symbole dieſer Art addiren, ſub⸗ trahiren ꝛc.

Laßt uns feſthalten, daß wir für den Augenblick den Ausdruck:„Zahlen“ im gewöhnlichen Sinne neh⸗ men, und darunter nichts weiter als die Glieder der natürlichen Zahlenreihe verſtehen, ferner mit den Aus⸗ drücken: Addiren, Subtrahiren, Multipliciren, Dividiren noch keine andere Begriffe als die des gewöhnlichen Lebens verbinden wollen, ſo daß jeder Subtrahend kleiner als der damit zuſammengeſtellte Minuend ſei, jeder

Diviſor in ſeinen zugehörigen Dividenden aufgehe, alſo(a4— b), 5 ſo gut, als(a+. b), ab wieder Zahlen vor⸗ ſtellen, nur nach den verſchiedenen Operationsarten verſchieden entſtanden gedacht. Wiederholen wir nun die Frage: Was darf man in dem Falle, daß d nicht in a aufgeht, dem Symbol* gleichſtellen, und was muß man unter dem

Addiren, Subtrahiren ꝛc. ſolcher Symbole verſtehen? ſo ergiebt ſich ſogleich, daß, da ſolche Symbole und ſolche Opera⸗ tionen früher noch nicht da waren, dieſe Begriffe ganz neu zu bilden ſind, und wir ſie definiren dürfen, wie wir wollen, wenn wir nur dafür ſorgen, daß die Definitionen keine logiſche Widerſprüche in ſich aufnehmen. Sollen aber die Definitionen auch für den Fall gelten, wo b in a aufgeht, ſo muß man die Definitionen ſo einrichten, daß ſie die frühern von Gleichheit, Addiren, Subtrahiren ꝛc. als untergeordnete Begriffe in ſich aufnehmen. Wir denken uns zu dem Ende alle Zahlen(immer die Glieder der natürlichen Zahlenreihe gemeint) in Quotienform gebracht. Solche Quotienten hießen gleich, wenn ſie dieſelbe Zahl vorſtellten. Es fragt ſich nun, ob wir das Merkmal: „gleiche Zahl“ nicht mit einem andern Merkmale vertauſchen können, das bei den Quotienten, welche Zahlen

vorſtellen, von gleichem Umfange ſei, aber auch an den Symbolen r, „gleiche Zahlen“ mehr vorzuſtellen brauchen, vorkommen könne. Wir wollen uns eines gewöhnlichen Beiſpiels aus der Planimetrie erinnern. Es iſt ganz einerlei, ob wir an die Spitze der Lehre von den Parallelogrammen die Definition ſtellen: Ein Parallelogramm iſt ein Viereck, in welchem je 2 und 2 Seiten parallel ſind, oder: in welchem 2 Seiten gleich und parallel ſind, oder: in welchem die gegenüberſtehenden Winkel gleich ſind, oder: in welchem die Diagonallinien einander halbiren ꝛc.; denn jeder aſih, e ſchließt alle die andern als Folge⸗ rungen in ſich. So iſt es auch einerlei, ob man ſage: Zwei Quotienken(Zahlen darſtellende) ſind gleich, wenn ſie dieſelbe Zahl darſtellen, oder: ſie ſind gleich, wenn die Producte aus dem Diviſor des einen in den Divi⸗ dend des andern gleich ſind. Gebraucht man aber letzteres Merkmal, ſo kann man die Definition der Gleichheit der Quotienten auch auf die Symbole 4 und 4. darſtellen ſollten, abſehen mußte, ausdehnen. Mit den Begriffen: ungleich, größer, kleiner hat es eine gleiche 4

2 die keine Zahlen, alſo auch keine

bei denen man von der Forderung, daß ſie immer Zahlen