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während für die Begründung, den ſichern Aufbau und die conſequente Durchführung nur ſehr ſpärlich Sorge getragen wurde. Erſt ſpäter, als ſich die Fehler dieſes Verfahrens in den Ableitungen, Folgen zu erkennen gaben, als man auf Widerſprüche gerieth, fieng man an, ſich mit Entſchiedenheit dieſer Seite der Wiſſenſchaft zuzuwenden. Anfangs blieb es mehr bei einem bloßen Erkennen und Aufweiſen erhaltener falſcher Reſultate und Widerſprüche; dann empfahl man Vorſi icht bei Anwendung gewiſſer Sätze, aber nur aus dem Grunde, weil man blos bei dieſen das Auftreten falſcher Reſultate beobachtet hatte, nicht deßwegen, weil man dieſe Sätze an ſich für weniger begründet gehalten hätte, als jene andere, bei deren Anwendung man auf keine falſche Re⸗ ſultate geſtoßen war. Sätze, deren Beweiſe an denſelben Mängeln litten wie diejenigen, bei denen man auf falſche Reſultate gekommen war, ließ man für wohlbegründet paſſiren, weil ſich bei ihrer Anwendung nichts Verdächtiges ergeben hatte. Nur auf die Sätze, welche auf Widerſprüche führten, hatte man ein wachſames Auge. So lange man ſich mehr mit einem Erkennen und Aufweiſen als mit einem Erklären dieſer Erſcheinun⸗ gen befaßte, mußte es häufig vorkommen, daß man Sätze, deren Anwendung man lange Zeit für ungefährlich gehalten hatte, bald in die Reihe derjenigen zu ſtellen genöthigt war, bei denen dieſe oder jene Vorſicht in die⸗ ſem oder jenem Falle anzuwenden ſei, wolle man nicht in Widerſprüche mit allgemein als richtig anerkannten Wahrheiten gerathen. Mit jedem Tage wuchs die Menge der entdeckten falſchen Ableitungen, Widerſprüche ꝛc,, wuchs die Zahl der Vorſichtsmaßregeln bei Anwendung bald dieſes, bald jenes Satzes, aber der eigentlichen Urſache dieſer Erſcheinung kam man dadurch faſt um keinen Schritt näher. So hatte ſchon Carnot bei den ſogenannten negativen Größen aufmerkſam gemacht auf den Widerſpruch des Satzes:„daß Kleineres durch Größeres dividirt Kleineres gebe“ mit der Wahrheit: daß+ 1:— 1=— 1: 1 ſei“, auf den Widerſpruch des Satzes:„daß Kleineres mit Kleinerem multiplicirt Kleineres gebe“ mit der Wahrheit, daß(— 4).(— 4) =( 3)(+= 3) ſei. Gerade ſo wurde von den verſchiedenſten Seiten her zur Vorſicht ermahnt bei Anwen⸗ dung des Satzes:„Gleiches durch Gleiches giebt Gleiches“, denn, wenn man in einer Buchſtabengleichung irgend einmal durch eine Differenz, in welcher, ohne daß man es im Augenblicke der Ausführung wußte, der Minuend und Subtrahend einander gleich waren, dividirt hatte, ſo war man der Gefahr ausgeſetzt, auf die größten Widerſprüche zu gerathen. Vor allen, die über dieſen Punkt geſprochen haben, wollen wir Lecroix hören, da er zugleich für verſchiedene Fälle die Mittel angiebt, ſich vor ſolchen Widerſprüchen zu bewahren. Schon die Art, wie er dieſe Fälle einführt, ſo wie auch die Verſchiedenheit des ertheilten Rathes, der ſich blos nach der Ver⸗ ſchiedenheit der Folgen, des Reſultates richtet, zeigen, daß hier von unvermuthet aufgetretenen Widerſprüchen, falſchen Reſultaten, und nur von Palliativmitteln, Symptomenheilung, nicht von einem Angreifen des Uebels bei der Wurzel die Rede iſt. Unter den Gleichungen des zweiten Grades mit einer Unbekannten führt er bei⸗ ſpielsweiſe eine Aufgabe an, die zu ſonderbaren Werthen führt, wenn man ſie nach der allgemeinen Regel auflöſ't. Eben ſo ſpricht er von„verſchiedenen Sonderbarkeiten“ bei der Auflöſung der Gleichungen mit zwei Unbekannten ꝛc. Clairaut hatte die Aufgabe gelöſ't:„Wenn der Abſtand zwiſchen 2 Lichtern von ver⸗ ſchiedener Hellung gegeben iſt, den Punkt in der geraden Verbindungslinie dieſer Lichter zu finden, in welchen

beide Lichter gleiche Hellung hervorbringen“ und für x erhalten: u 1 und— 1, a2 für die Maaßzahl der

Entfernung beider Lichter, X für die der Entfernung des Vlnn Punktes von einem der Lichter, 1:m? für

das Verhältniß der Lichtſtärken genommen. An dem Ausdruck u 1 für den Fall, daß m= 1, nimmt Lacroix

gar keinen Anſtoß, indem er ihm ohne Weiteres den Werth= ϑ e weren(ob+ A oder— H ſaggt er nicht), da(m— ¹1) nach ſeiner Meinung mit unendlich klein vertauſcht werden könne. Auf den Widerſpruch dieſer