Thaler 4

zu ſagen: 3 mal oder 3 Viertelthaler, ſchrieb man% Thaler und ſagte% mal einen Thaler, weil

man bei fünf Thalern geſchrieben hatte: 5 Thaler, und geſagt: 5 mal einen Thaler. Wollte man, weil man in der Multiplication oder der Regeldetri in ganzen Zahlen geſagt hatte:„Wenn 1 Pfd. 8 Sgr. koſtet, ſo koſten 5 Pfd.(5 mal 8) Sgr.“, in der Multiplication oder Regeldetri in Brüchen noch gerade ſo ſprechen, ſo mußte man ſagen:„Wenn 1 Pfd. 8 Sgr. koſtet, ſo koſten%½ Pfd.(1 mal 8) Sgr.“, und ſomit hier den Begriff des Multiplicirens gerade ſo gut ändern, wie man ſo eben ſchon genöthigt war den Begriff der Zahl zu erweitern. So lange man auf dieſer unterſten Stufe der Arithmetik, des gewöhnlichen Rechnens ſtehen blieb, war es ſehr leicht, die Begriffe der Zahl, der Addition, Multiplication, Subtraction, Diviſion, der Gleichheit und Ungleichheit den gedachten Erweiterungen entſprechend zu ändern und demgemäß zu definiren. Nur wurde man hierdurch in den Operationen mit Zahlen(ganzen Zahlen) auf keine höhere Stufe der Verallgemeinerung geſtellt, denn die berührte Verallgemeinerung bewirkt blos, daß man bei Maaßzahlen von Größen, alſo bei Vorausſetzung theilbarer Gegenſtände, nicht mehr zu unterſcheiden hat, ob ein Ganzes oder ein aliquoter Theil eines Ganzen der Rechnung(einerlei ob gleich im Anfang oder erſt im Verlauf) zu Grunde liegt. Kamen aber blos zählbare, ihrer Natur nach untheilbare Gegenſtände(etwa Punkte, Amben ꝛc.) zur Betrachtung, ſo konnte von Zahlen in dem Sinne der gedachten Verallgemeinerung keine Rede mehr ſein, da dieſe Verallgemeinerung ja gerade von der Vorausſetzung ausging, daß die zu Grunde gelegten Größen in jegliche beliebige Anzahl aliquoter Theile zerlegbar gedacht werden könnten. Die gedachte Verallgemeinerung hielt ſich, wie geſagt, ganz und gar innerhalb der Gränzen der Rechnung mit unbeſchränkt theilbaren Gegenſtänden(Größen), ſchloß alle andere, nur der Anzahl nach zur Betrachtung kommende Gegenſtände aus, und man war daher in allen andern Fällen genöthigt, immerhin ſorgfältig darauf zu achten, daß bei jeder Diviſion der Diviſor in den Dividend aufgehe, bei jeder Subtraction der Subtrahend größer ſei als der Minuend. So lange man, wie im gewöhnlichen Rechnen, mit beſtimmten Zahlen operirte, konnte dieſer Forderung, wenn auch mit einigen Schwierigkeiten, doch immer Genüge geleiſtet werden. Aber ſobald man, ohne die gedachte Vorausſetzung über die Art der zu Grunde gelegten Gegenſtände zu machen oder machen zu können, allgemeine Zahlzeichen in die Arithmetik einführte, und nun noch ſo fortoperiren wollte, als wenn das Reſultat jeder Operation wieder eine Zahl, eine Zahl im urſprünglichen Sinne geweſen wäre, da mußte man bald einſehen, daß dieſer Vorausſetzung in den ſeltenſten Fällen genügt war, und mußte, wollte man nicht ſofort auf jedes klare und ſichere Fortſchreiten verzichten, ſich fragen, was man in dem Falle, wenn das Reſultat der Operation nicht wieder eine Zahl darſtelle, zu thun, wie man ſich dann die Operation und das Reſultat zu denken, wie vor Widerſpruch mit dem Frühern zu ſichern habe.

Wenn auch ſchon früher beim gewöhnlichen Rechnen in den Fällen, wo von keinen gebrochenen Zahlen, weil von keinen unbeſchränkt theilbaren Gegenſtänden, die Rede ſein konnte, doch oft ſo operirt wurde, als wenn der Vorausſetzung genügt geweſen wäre, ſo war das allerdings ein Fehler, indem man Sätze, deren Ausſage ſich auf eine gewiſſe Sphäre beſchränkte, ohne beſondern Beweis über dieſe Sphäre hinaus anwandte, aber man erlaubte ſich dieſe Ueberſchreitung des logiſchen Geſetzes, indem man in jedem beſondern Falle leicht im Stande war, die Richtigkeit des ſo gewonnenen Reſultates auf dem geſetzlich zuläſſigen, als richtig erwieſenen Wege zu beſtätigen. Man kam zu richtigen Reſultaten, nicht weil man richtig abgeleitet hatte, ſondern vielmehr trotz deſſen, daß man ungehörig abgeleitet hatte. Aber ſelbſt lange Zeit nachher, nachdem man ſchon angefangen hatte, mit allgemeinen Zahlzeichen zu operiren, begnügte man ſich noch immer mit dieſen Schlüſſen nach der Analogie und mit unvollſtändigen Inductionen, und arbeitete an der Erweiterung der Wiſſenſchaft bedeutend fort,