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es ist daher gleichgültig, auf welchem Wege(aber stetig gekrümmt oder gerade muss er sein) und in welcher Zeit der Punkt von der einen Stelle zur andern gelangt.*)

Diese Behandlung der Aufgabe lässt an Einfachheit und Gründlichkeit nichts zu wünschen übrig,— aber doch nur für den in die Analysis Eingeweihten. Schellbach**) gibt daher für die Schüler des Gymnasiums folgende Auflösung:

Für die Bewegung auf der schiefen Ebene mit dem Neigungswinkel« gelten die Gleichungen:

Vv= e+ gt sin ᷣ s= ct † 1½ gt sin a.

Wird t eliminiert, und h für s sin cx substituiert, so ist

vZ2= c*+ 2 gh.

Man kann sich nun die krummlinige Bahn des Punktes aus einer unendlichen Anzahl von kleinen schiefen Ebenen zusammengesetzt denken und darf annehmen, dass deren aufeinanderfolgende Richtungsunterschiede sämtlich einander gleich sind. Bildet die Endtangente der Kurve mit der Anfangstangente den Winkel d, und isten+ 1 die Anzahl der unendlich vielen schiefen Ebenen,

so ist jeder Richtungsunterschied= 1. Beim Uebergang des Punktes auf die zweite Ebene verän-

dert sich die Geschwindigkeit v in v cos 1 sodass er an der dritten Ebene mit der Geschwindig- keit v; ankommt, für welche die Gleichung gilt VI 2=(V cos d)+ 2gh.. Auf der dritten Ebene erlangt er die Geschwindigkeit va, bestimmt durch die Gleichung: VZ2=(Vvi cos 9)⸗+ 2gh⸗ und auf der letzten Ebene die Endgeschwindigkeit vn, deren Quadrat Vn 2=(vn- cCos 9)⸗+ 2hn ist. Die Summe aller dieser Gleichungen wird m2= G* † 28 H— sine d(v † u2 Jf.... † vn-) Ist nun die grösste von den Geschwindigkeiten v bis vn-“ gleich ꝙ, so ist sin2 4—X vàz kleiner als n 2 sin² 4. 4—2 n

2 [³] no² wird null für n= œ; also ist

Vn 2 0z2 2g II. Diese Entwickelung ist vor allem weitläufig und nimmt, so lehrreich sie als mathematische Uebung sein mag, in der physikalischen Unterrichtsstunde zu viel Zeit in Anspruch.

*) Duhamel-Schlömilch, Lehrbuch der analyt. Mechanik, 1861 S. 354— 357, S. 361— 363. **) Elemente der Mechanik 1860§§ 49. 50. S. 68— 70.