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Pn=. p.52= 0 ¾ yn= 1 1st, So ist

T.( He4 b) lim Dun ⸗ F(æe, 5. 7, X) Pom

E. Verwandelung von transscendenten Functionen in Kettenbrüche,**)

63) Wenn f(x) eine in der Nähe von X= O monogene und monodrome Function von x ist, 1 die gleich 1 wird für X= 0(f00)= 1 4 1 ie For— gebracht wer- ie gleich 1 wird für X(-00)), so kann f(x) in die Form 1 2 G) g den, in welcher β eine von Null verschiedene, endliche Constante, e eine positive ganze Zahl bedeutet, und fiG) eine in derselben Ausdehnung wie fé) monogene und monodrome Function ist, die gleich 1 wird für x= O.(f(0)= f(0)= 1).

.. 1 Beweis.

16 1 ist für X= 0, selbst Null, aber in derselben Ausdehnung wie f(x) monogen und monodrom. Die Differenz kann daher in die Form x F(x) gebracht werden, in welcher F(x) für X= O nicht verschwindet, sondern einem endlichen bestimmten Werthe% gleich wird und also durch 5. fl(X) ersetzt werden darf. F(x), fl() und f(x) sind sämmtlich in gleicher Ausdehnung monogen und monodrom, und f,(0)= 1. Da aber 1 1 1 e, 4—y 6 1=(X)= 5X 1(X) ist, So ist 1X 1 †0W) 1 1 5.() Wird diese Relation auf f,(x) und auf beliebig viele neu auftretende Functionen f.(X), fa(X) etc. angewandt, so ergiebt sich

.**

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64) fg)= 1:(1431 X:(1 † hex:(1-†6ax:(14... Psax in E): 1)*rn)

*) Stern, Lehrbuch der Analysis. 1860. Note XII 5 bis 9.— L. W. Thomé hat gefunden,— Crelle: 66. Ste. 322— 336 und 67. S. 299— 309— dass der Näherungswerth des Kettenbruches für den Quotienten F(a,+ 1,„+ 1, X) (¹, 3, y, v) ausserhalb der Strecke auf der Abscissenaxe x=+ 1,+ 0d gegen den erzeugenden Quotienten convergirt, mit Ausschluss der Punkte, in welchen der Quotient unendlich wird.

**) Die Functionen könpen auch erst in Reihen und dann diese nach D in Kettenbrüche verwandelt

bei beliebigen, reellen oder imaginären Werthen der Grössen,, y in dem ganzen Gebiete

werden; davon ist hier nicht die Rede. **⁵) Worpitzky a. a. O.

F(a,. 1, 71., X. 4 *re) vergl. D. 60. Dort ist die Entwickelung von 5 9 3— auf die Rel. 59) gegründet. Wenn

daher F(a,,,) im allgemeinsten Sinne als das Integral einer Differentialgleichung aufgefasst wird, aus welcher

4 F(a, 2-l. 4.1. ²). Definition sich Rel. 59) ergiebt, so hat man zur Entwickelung von(e, 453 nicht nöthig, erst

F(¹,„, p, x) in eine Reihe zu verwandeln. In D wurde aber von dieser Reihe ausgegangen. Vergl. Gauss, Werke III. S. 198, Anzeigen, wo anf die Erweiterung von F(a, S, y, x) bereits hingedeutet ist,— Kummer, über die hypergeometrische Reihe, und Thomé: Crelle 66 und 67.