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Wenn der nach der Entwickelung in 64) ins Unendliche fortgesetzte Kettenbruch eine eben- falls in der Nähe von X=O monogene und monodrome Function F(x) ist, so ist F(X)=f(x) in der Ausdehnung, in welcher weder f(éx) noch F(x) aufhört, monogen und monodrom zu sein. Die Fune- tion f(x) ist also in diesem Falle in einen unendlichen Kettenbruch verwandelt.*)

65) Mitunter kann man, ohne den Kettenbruch zu kennen, welcher einer Function entspricht, die Näherungszähler und Näherungsnenner bestimmen. Dann lassen sich die Elemente des Ketten- tenbruches mit Hülfe der Relation II. 2) finden. Nach diesem Verfahren ist z. B. die allgemerne 5 in einen Kettenbruch von der Form 1:(Gi+† 1:(G?...) zu verwandeln.**)

6 Function f(2)

X 66) Die Elemente eines Kettenbruches, welcher einer Function v entspricht, können auch durch die Differentialquotienten dieser Function ausgedrückt werden. Ist z. B.

X2 7— XZ V= G e dx, so ist 99 2X v— 1 n+ n 3 und 1 nf= 2 X 3+ 2—. Wird der Kürze wegen dxX. d x dx D d n 1 3 n= Vn, ferner(— 1) 2 X e vn= yn und 5 gesetzt, so ist 1= 2XVv- 1, (n-†- 1) vnt,= 2 XVn+† 2 vn- und 1= t † dy2, yn= yn †+( † 1) dyn. Folglich 3 1 y ist— 1: L Nℳ ſend Y2 1 J2 = 1 24:— Y2 3 4 Y3 2 Y3 —= 139:— Y3 k 39 Y4 yn yn+... —= 1+(n+† 1) qa.—. Mithin ist vn. 1 L 1),. Fern — N1— 1 8. 3..** v= 4.= 1:(la:(l-t2d:(143 4:(14... †. 24:-+ d4)— *) Vergl. D. 62. **) IV. 24). 00— 12 ***) Die Verwandlung des Integrales 1 6 dæx findet sich zuerst bei Laplace: Mécanique céleste.

T. IV. p. 255. Der Beweis ist von Jacobi gegeben in Crelle, Band 12. Seite 346.— Klügel, mathematisches Wörterbuch, Sapplemente, Artikel Kettenbruch. Seite 885— 890. Ueber die Verwandelung eines Kettenbruches in ein gleichgeltendes Product und eines Productes in einen gleichgeltenden Kettenbruch siehe Stern, algebraische Analysis.§. 159.