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t.— te+ tz— t.+.+(ſ- 1)“Hut; isten unendlich gross, so muss die Reihe convergent sein, Nun soll für jeden Werth von m Pom

1 53) ti— tz+ ts—..+(1)“ i tm= bi:(i- bz:(a-†bs:(s-. Obm: am)= P

17m

sein.*)

Die Summe der ersten m Glieder soll allgemein dem mten Näherungsbruche Ko,m gleich sein. Geht die Reihe ins Unendliche, wobei sie convergent sein muss, so geht auch der Ketten- bruch ins Unendliche und ist convergent. Es ist also:

54) Pet= be= t.

Pü 1 21 Konz= bi:(ai- bz: a2)= ti— t. Korz= bi:(àl- b⸗:(a2 † bz: as)= ti— te †tz

Kom= bA(aa †'be 3(aa... ſ. Dn: an)= 1.= t2 litg... Ja(el)u teatn. Mit Häülfe dieser n Gleichungen lassen sich die Werthe von bi, bz.. bn nach ta, tz.. tn ausdrücken, wenn die Grössen ai, an,.. an beliebigen Functionen von t,, ta, ta.. gleich gesetzt werden. Weil die directe Auflösung weitläufig ist, wird ein anderer Weg eingeschlagen: Subtrahirt man die beiden letzten Gleichungen von einander, so erhält man

bi ba... bn

55)(ſ-1)“ itn= Kom— Ko.n-; diese Differenz ist nach III. 7⁰)=(— 1) ¹ Püitr erelerr Also ist tn= bL bz bn. und tn é b. bz. bn-—

Pi'n— 1 Pim Pi'n— 2- Pi'n— 1

1n= tn en D. Pärn=e. Li. h be... bu. 1.*e) AMit HHülfe won Relution II. 2) Pi,n— 2. Pi; n—1 Pi'n

geht diese Gleichung über in:;

th= tm 3n e Le b. b.t l bmh de a 1 Pi n—2. Pi'n— 1. Pi'n 4 3 Pinn— 2. Pin Demnach ist tn-,— tn-⸗=— Pr bæe Lue an, un das Produch Pirn— 3. Pi'n— 1 an. an— bz. b... HDn b.. b.. bn an. an—

tn— tn—,)(tn—,— tn—)= 49. 2=ä 4 tn=e t ( n n 1)( 1= 1 n 2) Dn bun⸗ 11 Pomn n2 1

Folglich ist bn= tn. tn— unaAne—. Lässt man nun am eine beliebige

(tn— tn— 1)(tn-— tn- 2)

Funktion von tm—,— tm sein, so ist *) pon= bi; pi,i= a.

**) Diess folgt auch unmittelbar aus III 9), ***) Wezgl. III. 3).