51) Wenn D die Summe der Quadrate von 2 positiven ganzen Zahlen ist, D=P2+ Q2, so sind die Entwickelungen der Irrationalen NEH und N.he. beide rein periodische, symmetrische Kettenbrüche.

52) Entwickelt man re— 1— 2, worin R und Q ganze positive

Zabhlen sind und R= Q ist, in einen positiven Kettenbruch, so beginut die Periode desselben mit dem 2 ten Theilnenner; der Nenner des letzten vollständigen Quotienten ist= 0, der Zähler des-

selben= ao. Q V Q R, der letzte Theilnenner der Periode demnach= 2ac.*)

C.

Die Quadratwurzel aus einer ganzen Funktion von gerader Ordnung V X soll in einen Ket- tenbruch verwandelt werden.

Das Verfahren, nach welchem durch recurrirende Formeln die Elemente der vollständigen Quotienten und aus denselben die Theilnenner des Kettenbruches gefunden werden, entspricht gan⸗ demjenigen, welches in C für die Entwickelung der Irrationalen 2. Grades angedeutet ist. An die Stelle der ganzen Zahlen treten hier ganze Funktionen von x.*) Dass und in welcher Weise die allgemeine Bestimmung der vollständigen Quotienten und folglich die Entwickelung von V X, der Qüadratwurzel einer ganzen Funktion von gerader Ordnung, von der Multiplication der Abelschen

Integrale lwr dx abhangt, ist von Borchardt erschöpfend nachgewiesen.***)

E.

Verwandlung der Reihen in Kettenbrüche.

Wenn man das Verfahren, durch welches man einen Kettenbruch in eine äqnivalente Reihe verwandelt, umkehrt, so erhält man für jede Reihe einen gleichgeltenden Kettenbruch. Die Reihe habe die Form:

*) Dieser Satz wird in der Regel nur für den Fall: Qä= 1 abgeleitet.— Vergleiche noch Degen: Canon Pellianus, eine Tafel, welche für die ganzen nicht quadratischen Zahlen R zwischen 1 und 1000 die Theilnenner des normalen positiven Kettenbruches VR und die Nenner der entsprechenden vollständigen Quotienten, endlich die Werthe x und y der nach Pell genanten Gleichung X2— Ry²= 1 enthält.— Pell in England 1610— 1685.— Lagrange bewies zuerst die Auflösbarkeit der Gleichung X2+— Ry?=* G., einen 6 VR ist.— Gauss, disquisi- tiones arithmeticao. Nro. 216.

**) Crelle 48 Seite 69 bis 73.

***) Crelle 48. S. 69 bis 104. Application des transcendantes abéliennes à la théorie des fractions con- tinues. Der Gedanke, zwischen den Eigenschaften der Integrale mit irrationalen Differentialen und zwischen der Entwicklung der irrationalen Funktionen in Kettenbrüche einen Zusammenhang nachzuweisen, stammt von Abel,— Crelle Bd. 1 Seite 285 und Abel, oeuvres complètes, Tome I Seite 33— und ist von Jacobi weiter ver-

folgt.— Crelle Bd. 7. S. 42; Band 48. S. 96. 97. und Bd. 48. S. 256, 257.(Heine, Untersuchungen über ganze Functienen.)