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so werden durch diese Formeln auch die Theilnenner bestimmt. Sie bieten desshalb einen zweiten, D Ppr einfacheren Weg zur Entwickelung des Kettenbruches. Q— ist= 1 we setzen.
Die Elemente Pn und Qn des vollständigen Quotienten können auch durch die Näherungs- brüche ausgedrückt werden. Es ist nämlich:
n=1 48) Q Posn-1. Poin-— Po(Pon— 1. Pi,n- 2.+† Po'n— 2. Pi'n- 1¹)— Q— 1 Pim— 1. Pin— 2=(— 1 Pn 2 2 n 49) Q. Porn-— 2 Po Pom— 1 Pin— ¹— Q- bi:n=1—) Qa. Letztere Gleichung 49) kann in die Gleichung ax?+ 2 bry+ cy?= k umgewanudelt
werden und hat für die ganzzahlige Auflösung dieser Gleichung dieselbe Wichtigkeit, welche die Relation po,n. pi'n—,— porn— 1. pi'n=+ 1 für die Auflösung der Gleichung ax+ by= e besitzt.*)
Von einer gewissen Stelle an sind die ganzen Zahlen Pn und Qa sämmtlich positiv. Der Kettenbruch, welchen man erhält, ist periodisch.**)
Die Irrationale 2. Grades kann auch in einen normalen negativen Kettenbruch verwandelt werden; derselbe wird nach folgender Regel aus dem positiven abgeleitet: 50) Man bilde aus der Reihe der Theilnenner
a0. 241 22, 673 a.. die Reihe
ao-1, ⁵ 1, 2, as— 1, da † 2 ,.. so dass allgemein, um die letztere Reihe zu bilden, jedes Glied αm der ersten, sobald m. 0 und gerade ist, um 2 vermehrt, sobald m unge- rade ist, um 1 vermindert wird. Der negative Kettenbruch beginnt nun mit ao 1, hierauf folgen .— 1 Theilnenner, sämmtlich= 2; der nächste Theilnenner ist.+ 2, hierauf folgen α— 1 Theil- nenner, sämmtlich= 2, der nächste Theilnenner ist α 2 u. s. f. Kommt ein Theilnenner m= an gerader Stelle vor, d. h. für welchen m ungerade ist, so entspringen daraus für den negativen Kettenbruch gar keine Theilnenner.***⁵) Aus dieser Regel folgt, dass auch der negative Ketten- bruch, in welchen eine Irrationale 2. Grades entwickelt werden kann, periodisch ist.
Für die Zahlentheorie am wichtigsten ist die Verwandlung der einfachsten Irrationalen, nämlich der Quadratwurzel aus einer ganzen positiven nicht quadratischen Zahl.*** †)
Einige Sätze werden hier hervorgehoben:
*) Serret. a. a. O. und Scheffler in Crelle Band 45. Nro. 25.
**) Diess wird gewöhnlich nach einem von Lagrange zuerst eingeschlagenen Verfahren bewiesen; man kann sich aber zur Ableitung auch der Theorie der quadratischen Formen bedienen.— Lejeune Dirichlet, Vorlesungen über Zahlentheorie, herausgegeben von Dedekind. 1871.
***) Der Regel gemäss.
erf) Der VD entspricht übrigens nicht der einfachste periodische Kettenbruch. Serret. a. a. O.— Stern in Crelle Band 53. Zur Theorie der periodischen Kettenbrüche. Göttingen 1854.— Göpel in Crelle Band 45. Nr. 1. Seite 1— 13. De aequationibus seoundi gradus indeterminatis.— Stern. Ueber die Eigenschaften der periodischen negativen Kettenbrüche, welche die Quatratwurzel aus einer ganzen positiven Zahl darstellen. 1864.