25
benutzt, um Verhältnisse zwischen vielstelligen Zahlen in kleinen ganzen Zahlen möglichst genau auszudrücken; sie dient zur ganzzahligen Auflösung der unbestimmten Gleichung 1. Grades mit 2 Unbekannten, ferner zur Ableitung mehrere Sätze über die Eigenschaften der Zahlen.*)
Diese gewöhnliche Methode, einen Bruch in einen Kettenbruch zu verwandeln, kann dahin abgeändert werden, dass man beliebige Theilnenner einschiebt und dadurch die Entwickelung ins Unbestimmte ausdehnt, zuletzt aber, damit die Rechnung ihr Ende erreicht, zum gewöhnlichen Ver-
g
fahren zurückkehrt.**) Man kann, anstatt mit der nächsten ganzen Zahl unter—h 2u beginnen,
mit der nächsten ganzen Zahl über den Anfang machen. Fährt man in ähnlicher Weise fort,
so entsteht die Form: 8= bo— 1:(b.— 1:(bz— 1:.—;1—) d. i, den gewöhnlichen n
*
negativen Kettenbruch.**) B.
41*)
Die Irrationale 2. Grades VD soll in einen normalen Kettenbruch verwandelt werden.
Man verfährt ebenso, wie vorher. Ist die Irrationale= K, so ist
K= ao+. 2 K..=—+ 1, etc,; allgemein sind die vollständigen Quotienten
Kn= n+ 4—= V DT Pn. Zur Bildung der vollständigen Quotienten dienen die beiden Kn- On Gleichungen: 46) Pn= an-i QOn-— Pn- 47) Qn= L La⸗. Die zweite kann auch ersetzt werden durch die dritte: 1
47) Qn= OQn-+(Pn-— Pn) αn=. Da an die nächste ganze Zahl unter Kn ist,
*) Légendre, Essais sur la théorie des nombres, 1799. Serret, Handbuch der höheren Algebra. Theorie der Kettenbrüche 1868. Auch Klügel's mathem. Wörterbuch. Art. Unbestimmte Analytik.
*) Scheffler in Crelle. Journ. f. M. Band 45. Nro. 25. Methodus nova aequationem II. gradus duas incog- nitas implicantem per numeros integros solvendi. Seite 349— 356.
**s) Stern. Ueber die Eigenschaften der periodischen negativen Kettenbrüche. 1864. Aus dem 12. Band der Abhandlungen der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Goettingen.
** †) Serret. a. a. O. Eingeschaltete Näherungsbrüche— Aufgabe: Von einer Irrationalen die beiden genauesten Näherungswerthe zu ermitteln, deren Nenner eine gewisse Grenze R nicht überschreiten.
7