24

4⁴)(pPien— 1 Pim-— pi,n Pi,m- 2) K²—(po,n—1. Pi'm-— Pi /n-—1 Po-m-:— pon Pi'm— 2— pi ,n Po-m-) ·K + pon-i. po'm—— po'n. Pom-:= 0.

K ist, wie in 42), die Wurzel einer quadratischen Gleichnng mit ganzen Coefficienten und also eine Irrationale 2 ten Grades.

Die Untersuchung wird sich nur unwesentlich ändern, wenn in dem Kettenbruche sämmt- liche Theilzähler=— 1 sind. Auch der negative periodische Kettenbruch ist gleich einer Irrationalen 2 ten Grades.*)

C.

Den Werth jedes nicht periodischen unendlichen Kettenbruches führt man auf den Werth einer äquivalenten Reihe unter Anwendung von III 9) zurück. Ist der letztere bekannt, so hat man auch den Werth des Kettenbruches.

VII.

Verwandelung in Kettenbrüche. A.

Der rationale Bruch 4 soll in einen einfachen Kettenbrueh verwandelt werden.

ao sei die grösste ganze Zahl unter 24, 80 dass= ao+— ist. Wenn a, die grösste 1 D Pamn ganze Zahl unter l4an. bedeutet, so ist bin.—+% 1. Die grösste in ben Pz n Pein Peen Pzm Pain

enthaltene ganze Zahl sei, in an stecke die grösste ganze Zahl αs ete. Die angedeutete 4n

———.—.. n, n. Operation wird sich nicht ins Unendliche fortsetzen. n sei so gewählt, dass e= an ist. n en

Die Elimination der Brüche etc. gibt: 2‚

4⁵)*= ao 1:(a+ 1:(a+f.+ 1: an) Diese Entwickelang wird

*) Ausnahme: 2— 1:(2— 1:(2—) ist= 1. VI A. 41),