23

B. Der Werth des unendlichen periodischen Kettenbruches.

42) Jeder unendliche, rein periodische Kettenbruch ist gleich einer Irrationalen 2 ten Grades

d. h. von der Form K= E Vb ‚ in welcher D eine positive ganze, nicht quadratische Zahl

0

P und Q positive oder negative ganze Zahlen vorstellen. Beweis: K=ad- 1:(a.1:(+†‿˖... 1:(n+ 1:(ao- 1:(ã‿..+ 1: an+ 1:(ao..)

Bezeichnet man den Näherungsbruch, welcher mit dem letzten Gliede der ersten Periode

.. n. 1—. schliesst, mit pe, den vorhergehenden mit Shr Merf.„ 80 ist

Pion D4—1

—— Ke Pas- K-rbenen also pi'n K²—(pomn— Di'n-:) K— pon- 1= 0 oder 1n. 1'n— 1

Kz= Pem pin K Paen= 0. Der Werth des rein periodischen Ketten-

— ö Dun P'n pruches ist folglich gleich der positiven Wurzel einer quadratischen Gleichung mit rationalen

Coefficienten:

42) K— Pon= pm V(pom= p=1) 2* 4 pom 1. Pim 2 pisn

43) Auch wenn der Kettenbruch nicht von vorne herein, sondern erst„seine Ergänzung von irgend einer Stelle ab“ periodisch ist, d. h. wenn der Kettenbruch gemischt periodisch ist, ist sein Werth eine Irrationale 2. Grades.

Beweis: Die periodische Ergänzung m+ 1:(am++† 1 C..+ 1:(an+ 1:(am-f...) sei= Km. Nach 42⁰) ist

Rm— Pm,n— Dm-n—+ V(pm.— Pm+„— ¹) ² 4 pm, n— 4. pm-n und

0 2 Pm-Hin

A. 7 m— i1 Km 00„m—...—. 1. † nach II. 2) ist 43) K= Leen pem. Eliminirt man Km, so wird nach einigen Um- Pim—u⸗ Km+ Pim— 2

formungen K in der Form einer Irrationalen 2. Grades erscheinen. Man kann auch anders verfahren: Es ist nämlich auch

437) K= ven bem 3 Pon-i Aus 43) und 43“) folgt Prn. Km It P,n-4

Pim 2. K— Pom:⸗= Den K= Porn1

d porm-—— bim-. K Don— pi'n. K 44

Km—