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Beweis: Das allgemeine Glied der Reihe 27) in V ist
DeTtas CAeis h Aes allgemeine Glied der Reihe 28)
un= aan-— 7 b b.. ban—, L, bs.. b n. vn= axn 5 5 221. Das Product derselben ist 4 be... ben azn— ann. b 2n—1 22 2 2 un. Vn= eeee, also gemäss der Voraussetzung 1 2 8
Daraus folgt, dass höchstens eine der Grössen un und vn mit wachsendem n sich der Grenze 0 nähert, mithin wenigstens eine der Reihen 27), 28) divergirt. Desshalb muss der Ketten- bruch convergiren(V 30).
40) Der Kettenbruch 39) kann nicht gegen eine rationale Zahl convergiren.
Beweis: Km, œ= am ſ bm-:(am-r, h.)= am+. ym. Aus der KRelation 2
pm--r. Pom aIL. Kooe Do, in II folgt, dass Ko Leu Fr ier. Pum Pünte dopeeen Load. ſat.
oder 2— Pim+ ym †l. Pi'm-1 Imah Po,m 1 Pi m— 1-KOο
Wenn für Ko,« der Werth 8 gesetzt und beachtet wird, dass ym+†,= 1 und positiv
sein muss, so ergiebt sich die Ungleichung: [Pom— 1h— pPi,m— g]—[bDi,mg— po,mh] und aus dieser die unendliche Reihe: [pom- ih— Pi,m- 1gI=[pDi,mg Pormhl—[bo,m-.h— pi,m-. gl=—[b m g— Pom †ehl*+..= 0.
Da diese unendlich vielen Ausdrücke sämmtlich verschieden sind und, vom zweiten an, zwischen zwei endlichen Grenzen liegen, so können sie nicht sämmtlich ganze Zahlen sein. Desshalb können auch
g und h nicht ganze Zahlen sein, d. h. der Werth ³ des Kettenbruches Ko,e ist nicht rational.
41) Wenn in dem Kettenbruche aH— b,:(a,— bz:(a.—) von einer bestimmten Stelle an allgemein am— bm und nicht zugleich für jedes müam= bm-1 ist, so hat derselbe ebenfalls keinen rationalen Werth.*)
Der Beweis ist dem vorigen ähnlich.
Die Sätze 40) und 41) werden angewandt, um die Irrationalität gewisser Ausdrücke nach- zuweisen, für welche diess auf anderem Wege noch nicht gelungen ist. Man findet z. B. dass x
ferner jede rationale Potenz von e irrational ist.**)
*) Alle a und b sind ganze Zahlen. Die Convergenz des Kettenbruchs gehb aus V B. 35) hervor. ISt
ut= b* 1, az= ba+. 1,.. so ist der Werth des Kettenbruches= a0— 1; ist erst von einer bestimmten
späteren Stelle an allgemein am= bm+. 1, so ist der Kettenbruch rational. *n) Sind alle Potenzen von z irrational? Ist ⸗ vielleicht irgend eine Wurzel einer algebraischen Gleichung
n ten Grades? 1