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Diese Gleichung stimmt aber ganz mit 2) in II überein, wenn dort an= 1 und bn= gesetzt wird; legt man desshalb den Kettenbruch

Ko= 1+ 6x(1+ ZxX:(1+. † gnx: 1+..) 2zu Grunde, so ist

Pom= pPi-= In und bo,n+= Gnt, mithin

PonA= Sn† hn 26 x K—— und Lim K-,=——. on Pr n In DaE

25 X 3—

38) Aus dem Werthe Ko= iAVT erkennt man, dass der Kettenbruch eine für

X 0 bis x=— 15 monodrome Function von x ist und desshalb nach III 10) in eine nach

ganzen Potenzen von x geordnete convergente Reihe entwickelt werden kann. Die Coefficienten (n) K(0)

dieser Reihe sind durch Addition und Multiplication aus den 5β zusammeugesetzt. In der

Reihe, welche sich nach III. 10) für den endlichen Kettenbruch Ko,n= 1+ M1 x:(1+ αxã(1+.+. n xX: 1)

ergiebt, sind die Coefficienten ebenfalls durch Multiplication und Addition aus den Grössen 5, 2.. gebildet. Die Reihe wird also convergiren, wenn keine der Grössen 54, 52 ,„... den Werth übersteigt. Da die dem Kettenbruche Ko,n- entsprechende convergente Reihe mit der vorigen in den ersten Gliedern übereinstimmt,*) so ist Lim(Konn— Kom—:)= 0(n=). Der unenaliche Kettenbruch ist also gleich einer unendlichen convergenten Reihe, folglich selbst convergent.**)

VI. Folgerungen.

A.

Der unendliche Kettenbruch, dessen Theilzähler und Theilnenner ganze Zahlen sind. 39) Der Kettenbruch Ka,= ao+† bi:(a+ be:(a+...), in welchem von irgend einer Stelle die Theilzähler und Theilnenner positive ganze Zahlen sind und fär jedes m

am— bm ist, convergirt,

n- 1 nm *) In Folge von III 7) ist nämlich; Lim(Ere= on 40)=(- 1) Fl e... An x für x— 0 (1)(1) Setzt man nach und nach m= 0, 1... so findet man Ko,n(0)= Ko,n-4(0), Kon(0)= Ko,n-(0), 1, 6). Ke69 K Ln. — 5= 3, 00 3 950= 1 ete. Andere hierhergehörige Sätze in Worpitzky.— Thomé,

Grelle Band 66 und 67.

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