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Der Kettenbruch K= ao+ bi:(a.+† bz:(a,++..) wird folglich convergiren, wenn die Reihe α+‿‿‿α‿. divergirt. 1 1 a b bz. b Setzt man für,.. die Werthe b.. 2;. d„ à. 5 h„ 3 3 1 3 ba b. b. noch mit ba, so erhält man die Reihe 27) 21-t a h=+ as E p S. 3 3-

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.. und multiplicirt

Der Kettenbruch ao+ 1:(a.μl:(+‿..) convergirt und oscillirt zu gleicher Zeit mit Kettenbruche K4,n= aα£.1:(a‿l:.). Hieraus ergiebt sich, dass der Kettenbruch Ko,n 8. b auch convergirt, wenn αe †œ+.. oder die Reihe 28) a. az 3+ as de d⸗+. divergirt. 1 1 b6

Beiden Reihen kann durch Multiplication mit einem Factor eine etwas andere Gestalt gegeben werden.*)

Ferner ist al½= A 11 4 ‿l= α] 1, also ,„½=(a+ 1)(A.‿ 1). 1 3= r 2 1,1; also„3=%(1+)(1+‿)+ 1+, und noch mehr xi.=(1+)(1+)(1+.). Durch Induction findet man, dass

mm=(1-P.)(1+)..(1-en) und min-+r=(1+..)(14.)..(1 †n)(1 εn 0) ist. Das Product/. r+ ist demgemäss stets kleiner als (l4. αm·*(14 a.)(14 αs]..(1+ n)z(1+ An4.).

cm ³

2 Weil 6un e 1. am L+ 1253+.. ist, 1am also, so lange œm positiv

bleibt, Kleiner als eim bleibt so ist

20) wen vinn 624½ ₰ 22 4 243+.. 2n an4.t

Convergiren nun beide Reihen, sowohl αν.α-‿α+2... als e œ‿‿ſ—‿..., also auch die Reihe α‿ αᷣα... so hat auch Lim xi, n. x1 †rr(n=GO) einen endlichen Werth. Die Reihe 9) wird in diesem Falle oscilliren**) und demgemäss auch der Kettenbruch.

Es gilt daher für die unendlichen Kettenbrüche mit reellen positiven Theilzählern und Theilnennern der ganz allgemeine Satz: 30) Der Kettenbruch Ko,aœ= a0+ b.:(a4+† b⸗:(a2 f.)

in welchem alle a und b reelle positive Zahlen sind, convergirt oder oscillirt, je nachdem von den Reihen:

b b be ba b 21) u- a e †. 2s Pi he 2 5

1 b. ba„,

*) Stern in Crelle Jonrnal. Band 37§ 10 Satz 3. Reihe 14 und§ 12. Satz 4. Reihe 16. Seidel, Unter- suchungen über die Convergenz Seite 13. Stern, Analysis§ 145.

**) Stern, Analysis.§ 60.