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A.

Der unendliche Kettenbruch mit reellen positiven Theilzählern und reellen positiven Theilnennern.

2u baJ. hu lir behr Prtam Pm+s, Pm† 1,n

Das Vorzeichen der Differenz hängt, da die b und die p gemäss der Voraussetzung sämmt-

Ls Shdirire Ws.= E 13 Relation 7) in III.

lich positiv sind, allein von(ſ— ¹)* ab. Wird der Näherungsbruch Km,s gerade genannt, wenn s-m gerade ist, und ungerade, wenn s-m ungerade ist, so ist jeder gerade Näherungsbruch kleiner als alle folgenden, jeder ungerade aber grösser als alle folgenden. Die geraden Näherungsbrüche pilden daher eine zunehmende, die ungeraden eine abnehmende Reihe. Da ferner Km,n— Km’ss ein anderes Vorzeichen hat, als Km,n-Km,s+, so folgt, dass jeder spätere Näherungsbruch zwischen 2 aufeinander folgenden vorhergehenden enthalten ist. Alle Näherungswerthe des unendlichen Ket- tenbruches K liegen also zwischen den Grenzen Ko,o und Ko,; die geraden, wie die ungeraden nähern sich desshalb einer bestimmten Grenze. Haben die geraden Näherungsbrüche dieselbe Grenze wie die ungeraden, so couvergirt der Kettenbruch. Aber wenn jene sich einer anderen Grenze nähern, als diese, so oscillirt der Kettenbruch zwischen den beiden Grenzen.

Um die Untersuchung leichter weiter zu führen, wird von der Relation 5) in II Gebrauch

1 1 b 1 b. 1 gemacht. W—— 2—=— 1—=———1..—— gemac enn 1 5. 62 3 b. b 93 3 b 5 b. n gesetzt wird, so werden alle Zähler der rechten Seite= 1 und diese nimmt die Form

25) Ke ao* 1:(1 ÿ₰% 1:(+.. † 1:(an+†.) an. Nach 9) in III ist 1 1 1 n—1 1 Uiese Form gleich 9) a———..+—B—l— 8 85 6 Sh 21 1 41· N4152 T1;2· N4 ,3 do Wand) Ni,n—t: Ki'en 4

nm,n gehört zu dem umgeformten Kettenbruch und entspricht pm.n, welches der ursprünglichen Form angehört.

Die Reihe, deren Glieder abwechselnd positiv und negativ sind, wird stets und nur dann

convergiren, wenn Lim— 1. I.(n= 0) unendlich gross wird. Von dem Kettenbruche Lim K0,n

gilt, wie aus der in 9) gemachten Bemerkung hervorgeht, ganz dieselbe Regel, und weil Lim Ko,n und Lim K“,n dieselbe Reihe von Näherungsbrüchen haben(II. 5.), so müssen beide zugleich ent- weder convergiren oder oscilliren.

Nun ist das Product xi m. I.,21ꝗ+‿☚ᷣf ☚ αᷣ‿..+ em+†, wie sich aus folgendem ergibt: Es ist

.O= 1; Mli= 6i; Min= i*. 1(Rel. 2) also r½ 1, ferner aßà u4 2 u. s. w. und allgemein xl. 1. Ferner ist a4α+μ̈ έ m e m. Mem- M 2m- t(Rel. 2) und weil a,½ 1 8 1 ist, mi,m+1 Cem+. em— 1⸗ Setzt man nach und nach in der letzten Ungleichung die Zahlen 1, 2,... m für m, so zeigt sich, dass z,z ¹9ß9⁴μμιQ αm emr.. dg †+† al ist. Mithin ist 26) xi.zm. I 2 m 1.i-1 da,.. Am.