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nuendliche Summe, das unendliche Product und der unendliche Kettenbruch. Die Reihen sind bevor- zugt, weil sie leicht— doch nicht ohne Weiteres— zu addiren sind; unendliche Producte können dureh Maltiplication und Division mit einander verbunden werden. Die Kettenbrüche dagegen sind durch einfache Operationen weder zu summiren noch zu multipliciren; ihre Vergleichung unter einan- der ist schwierig. Aber dafär bietet ihre Anwendung in der numerischen Berechnung und in der Zahlentheorie grossen Nautzen. Die Functionen können durch Kettenbrüche ohne Beihülfe der Reihen dargestellt werden.*)

Vor sämmtlichen analytischen Ausdrücken, welche aus einer ins Unendliche fortgehenden Anzahl von Operationen zusammengesetzt sind, dürfen nur die convergenten in die Rechnung einge- führt werden, wenn anders der Analysis überall die mathematische Sicherheit zugestanden werden soll. Es sind daher die allgemeinen Regeln aufaustellen, nach welchen sich entscheiden lässt, ob ein unendlicher Kettenbruch couvergirt.

Unendliche Kettenbrüche heissen, wie unendliche Summen, unendliche Producte, convergent, wenn man sich einem einzigen endlichen Werthe desto mehr nähert, je weiter man die angedeute- ten Operationen fortsetzt. Findet diess nicht Statt, so sind sie divergent, aber ihrem Wesen nach wieder in 2 Gattungen unterschieden. Ein Ausdruck ist divergent im engeren Sinne(divergirt gegen+†), wenn der einer beliebigen Zahl von Operationen entsprechende Werth desselben mit dieser Zahl über jede angebbare endliche Grösse wächst; er oscillirt, wenn man sich je nach der Zahl der ausgeführten Operationen verschiedenen, jedoch vollkommen bestimmten, endlichen Wer- then nähert.

Bei den Kettenbrüchen erscheint die Divergenz im engeren Sinne, da wo sie vorkommt, als etwas Zufälliges; sie macht sofort der Convergenz Platz, wenn ein einziger Theilzähler oder Nenner verändert oder dem Bruche an seinem Anfange ein Glied beigefügt oder weggenommen wird.**)

Liegt eine unendliche Reihe zur Untersuchung ihrer Convergenz vor, so erkennt man leicht an den Zeichen das Nüchste, nämlich ob der Werth mit der Anzahl der Glieder zunimmt, abnimmt oder oscillirt. Auch bei einem unendlichen Prodacte wird in der Regel der Fortgang des Ausdrucks zu übersehen sein: es gelingt gewöhnlich festzustellen, ob die Factoren schliesslich immer grösser oder kleiner als 1 sind. Anders ist das Verhalten des unendlichen Kettenbruches, da nicht leicht a priori eine Kenntniss von dem Gange der Näherungsbrüche gewonnen werden kann. Auch die Entscheidung der dem Kettenbruche äquivalenten Reihe(III. 9) hängt, da das allgemeine Glied den Ausdruck pm,n enthält, von dem Gange dieser Grösse ab.***)

Ganz allgemeine Sätze sind aufgestellt für den unendlichen Kettenbruch mit positiven Theil- zählern und positiven Theilnennern. Die Beurtheilung eines Kettenbruches mit negativen Theil- zähl ern und positiven Theilnennern ist bei weitem schwieriger. Man kennt nur 2 Fälle, in welchen sich mit Bestimmtheit pehaupten lässt, dass ein solcher Kettenbruch convergirt. Am wenigsten hat man sich mit Kettenbrüchen beschäftigt, deren Theilzühler und Theilnenner complex sind.***†)

*) Gauss Werke III Anzeigen.

**) Seidel, Abhandlungen der bayer. Akad. der Wissenschaften 2. Cl. 7. Band. 3. Abth. 1855. Der diver- girende Kettenbruch hat daher bei weitem grössere Bedeutung, als die divergirende Reihe und auch als das diver- girende Product. Stern, Analysis§. 156.

**½) Dieselbe ist aber schwierig übersichtlich allgemein darzustellen cf. IV.

er †) Worpitzky, Berlin 1865. Heine, Monatsberichte der preuss. Akad. der Wissensch. 1866.