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Die Auflösung beider Gleichungen 22) und 23) gibt die Werthe für porn—, und pozn.*)

Durch die Lösung linearer Gleichungen gelingt es auch, den Ausdruck porn aufzufinden für einen Kettenbruch, welcher einer sehr allgemeinen Funktion 1 f(2) 1 4 entspricht, die sich in eine nach ganzen Potenzen von x absteigende Reihe ordnen lässt. Der Kettenbruch hat die Porm 24)

4 d z 14GXL Gr.: 1:G= f1:e.)=(70.

X— 2

Gi, G=,.. sind ganze Functionen von x. K=I1:((GAeI1(Ge-1:(e))— 1hs. Aus 6) folgt: 1 8

Per—(= 1) I. LD.e. 4)

P Piin Pomn() per

Wenn Gi, Ga,.. vom Grade gu, ga,.. sind, so ist giεg.+†..+ gr der Grad von. Pir. gne+ gn. †..+ gr ist der Grad von pn†e r. Die in eine nach absteigenden Poten-

zen von x geordnete Reihe für() en beginnt also mit der Potenz 1 G. ge t.. Tgn r), dr

Aus dem Umstande, dass die Coefficienten der Potenzen x ¹, X 1,. X— g1— 82—..— gn

gleich 0 sind, entspringt ein System von linearen Gleichungen zur Bestimmung der Coefficienten

von pim.*)

V.

Der unendliche Kettenbruch. Untersuchungen über die Convergenz desselben.***‿◻)

Der Boden, auf welchem die transscendenten Functionen erzeugt werden, liegt da, wo eine Annäherung an eine Grenze durch, nach bestimmten Gesetzen ohne Ende fortgesetzte Operationen. stattfindet. Die Formen, in welchen dieselben dargestellt werden, sind das bestimmte Integral, die

*) Die weitere Ausführung siehe in Heine, Crelle Journ. f. M. Band 57. Ueber die Zähler und Nenner der Näherungswerthe von Kettenbrüchen.§.§. 2. 3. 4. Die Berechnung von pm.zn-i, und pmazn unterscheidet sich, von der für po,zn-1, Poen hier angedeuteten im Wesentlicnen nicht.

6 **) Lim— f().—— 1)T 5 T 0..

2**) Monatsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin. 1866. Mittheilung über Kettenbrüche v. Heine.

**2†) F. Arndt. De fractionibus continuis. Sundiae 1845. Seidel, Untersuchungen über die Convergenz und Divergenz der Kettenbrüche. München. 1846. Stern, Kennzeichen der Converg. eines Kettenbruches Crelle Journal f. M. Band 37. 1847. und Lehrbuch der alg. Analysis. 1860.