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ba ¹* bz ba b,.. 28) a⸗+ ag. as Fe ſ.+ as fe le ſe... wenigstens eine divergirt oder

beide convergiren.*)

31. Die Gültigkeit dieses allgemeinen Satzes kann noch auf andere Kettenbrüche ausgedehnt werden, nämlich auf alle diejenigen, in welchen nicht von Anfang, aber von irgend einer bestimm- ten Stelle m an sämmtliche Theilzähler und Theilnenner reell und positiv sind. In der obigen Ableitung treten am, bm, Km,n an die Stelle von ad, bi, Kon. Wenn aber Km.n convergirt, so eonvergirt auch Ko,n; denn die Convergenz eines Kettenbruches kann nicht in oscillirende Diver- genz übergehen, wenn zu demselben eine endliche Anzahl von endlichen Gliedern tritt.**)

32. Ferner kann man nach dem aufgestellten Gesetze auch die Beschaffenheit derjenigen unendlichen Kettenbrüche entscheiden, in welchen von einer gewissen Stelle sämmtliche Theilnenner negativ, sämmtliche Theilzähler aber positiv sind.

Denn— am+ bm..:(—am †.+ bm:(—am 4e..) ist= —[am+ bm-i:(am++ bm †:(am-,+..)1 nach II 5). Die Convergenz des zweiten Ketten- bruches wird aber nach dem Satzc 30) beurtheilt, folglich die des ersten auch.

33. Endlich steht mit dem Satze 30) ein anderer im Zusammenhang, welcher sich auf alle Kettenbrüche bezieht, deren Theilzähler und Theilnenner reell(beliebig positiv oder negativ) sind. Ein solcher Kettenbruch kann nämlich nicht convergiren, wenn beide Reihen 27) und 28), nachdem in denselben alle Glieder positiv gemacht sind, zu gleicher Zeit convergiren.

Denn zunächst kann in dem Kettenbruche jeder negative Theilnenner positiv gemacht wer- den(II, 5), ohne dass die absoluten Werthe der Theilzähler und Theilnenner sich ändern. Die Form am bm†:(am++ bm †r:(am+†e+.), welche man erhält und in welcher die a und b absolute Werthe sind, kann mit Hülfe von II, 5) weiter in die Form

m+† 1:(am X 1:„(am+,+..) umgewandelt werden.

Die dieser Form äquivalente Reihe(siehe 9), deren Zeichenfolge beliebig ist, wird sicher

nicht convergiren, wenn mit zunehmendem n Lim—— grösser als 0, mithin Am,n. Amn+†.t

Lim xm,n. Im,n+† einen endlichen Werth hat. Da nun dieses Product in das dem Kettenbruche cm l:(am+† 1:(+‿..) entsprechende übergeht, wenn sämmtliche Glieder positiv genom-

men werden, das letztere aber wegen der Voraussetzung gemäss dem Satze 30) nicht unendlich gross werden kann, so wird umsomehr das erstere Product einen endlichen Werth haben müssen. Die Reihe convergirt also nicht. Mithin wird auch der Kettenbruch nicht convergiren.

*) Seidel, Abhdlgn. der baier. Akad. d. Wissenschaften 2 Cl. 7. Bd. 3. Abthlg. Seite 562.

**y) Hingegen kann Ko,n divergent im engeren Sinne sein, wenn Km,n convergent ist. Umgekehrt kann auch ein Kettenbruch Ko,n mit beliebigen Zeichen convergiren, während ein Theil desselben divergirt.