8
Wenn der Kettenbruch die Form, a⸗+ 5,X** a4+ 2 1*
aa+
+ En k n an — Po,n
so ist Kon= be als Quotient von 2 ganzen algebraischen Funktionen, welche keinen gemein- 1n
schaftlichen mit X veränderlichen Factor haben,*) innerhalb des Intervalles O und der kleinsten —. 4 6)
Wurzel von pon= 0 endlich und stetig. Da dasselbe auch von den Differentialquotienten Kon (²)
Kon ,... gilt, so bietet der Satz von Mac Laurin das Mittel, den Kettenbruch Kon in eine
unendliche Reihe zu verwandeln, welche nach Potenzen von x fortschreitet.**)
¹) 2 3 10) Kan CJe Kan G)-h. 28.. no).. Pen.-....
IV.
Berechnung von pm. a.
Mit Häülfe der Gleichung 1 in II wird pm,n bestimmt, nachdem man vorher der Reihe nach die Werthe von(pn,n, Pn-—„,n), pn-2,n,.. pm- i,n mit derselben Gleichung berechnet hat. Die Gleichung 2 in II führt successive von den Werthen pm,m, Ppm.m-+¶ auk die Werthe von pm,m+: Dm, m+. 3, Pm,n—„ Pm,n. Die Entwicklung einer der für pm,n in II gefundenen Determinanten liefert für pm.n eine Summe ven Gliedern, deren Factoren sämmtlich aus den Theilzählern und Theilnen- nern des Kettenbruches gewählt sind. Die einzelnen Glieder ergeben sich leicht nach folgender Regel: 11.)***) Das erste Glied ist das Product am am-, am+†.. an, das zweite wird aus dem ersten dadurch erhalten, das bm+, an die Stelle von am. am+ gesetzt wird. Wird in der Samme der vorhandenen Glieder am-, am+†. durch bm+. ersetzt, so entstehen die folgenden Glieder. Tritt in allen bereits gebildeten Gliedern, wo es angeht, bm an die Stelle von am+. am+, so entstehen wieder neue folgende Glieder. In der angedeuteten Weise wird fortgefahren; die letzten Glieder gehen aus den gebildeten durch Vertauschung des Productes an-—i. an mit dem Theilzähler bn hervor.
*) vergl. oben 6) Ko,n(0)= ao
**) Der Satz gilt auch für complexe Werthe der Variabeln; denn Ko,n(x) ist eine in dem angegebenen Intervalle monogene und monodrome Funktion von x.— Ueber monogone Funktionen vergl. Cauchy, exercices d'analyse et de physique mathématique Tome IV. Seite 325. 346. und Riemann dissert. inaugur. Göttingen 1851. Ueber die Bestimmung der Coefficienten dieser Reihe durch die Theilzähler und Theilnenner vergl, Worpitzky § 12 ete.
***) Sbern im Journal von Crelle Band 10 und im Lehrbuch der Analysis 5. 141.