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Werden in 6) die Glieder durch pm-+. s. Pm+ ,n dividirt, so entsteht

bm+. bm+.. bs 4. Ps-an 7) D s. Pm Prn

7) Emn= Km=(— 1) n

Also ist bm+. bm e... bn Pm-im-1. Pm n

71) Km,n— Km, n-—(- 1) n—m. 1 Ferner ist.

— 1 1 n—m Pm n— 1 Km,n-2— Km,n-1 Km,n—;— Km, n 1) bm-r. bm*..

Unter Beachtung von 2) entsteht für den Theilnenner an der Ausdruck:

1

— bn(bm 4un bn 5 Pun—?)

bnetr bate eln( 1 8) an—(- 1) n m 1 2)2² Rm, n-—1

(Pm., n—1

— Km,n 3i Rm.=, Km, n-1

Wird in der Gleichung 7¹) m durch 0 ersetzt, und werden der Zahl n nach und nach die Werthe n, n-— 1, n— 2,.. 3, 2, 1 gegeben, so entsteht ein System von n Gleichungen:

1. b be be.. byn Ko,n Ko,n-1 Fi(‚-! 3 Pi,n— 1. Pi,n — b b, bz.. bn-1 Komn- 1— Ko,n-=(— 1) 22 Pi,n— z. PDi, n— 1 b. b K„— 21— 1) ¹ 4 1 0,2 Ko-t 1 Pia B Kou=,* nr 21 **) 9) Ko,n= ao 14b. 4* hh he e AG1) Eren Wen 1 Pi P4i,z Pi'2. P4:3 Pin— 1. Pi,n

Nicht nur die Summe dieser ganzen Reihe ist dem vollständigen Kettenbruche Kon gleich, sondern auch alle Summen von 1, 2, 3.. m Gliedern derselben sind resp. dem nullten, 1 ten, 2 ten, ..(m- 1) ten Näherungsbruche gleich. Die Reihe wird desshalb die dem Kettenbruche äquiva-

lente genannt.

²) Wird der Kettenbruch an+† bn zu Grunde gelegt, so ergibt sich die Relation:

an—+†.. Kn,m— Ks,m=(— 1)....

**) Diese Formel dient zur Beurtheilung des Fortgangs der Näherungsbrüche vergl. Seidel. Abhd). der

bayr. Akad. d. W. II. VII. III. Seite 574. **) Wenn in 71 m nicht= 0 gesetzt wird, so ergiebt sich die Reihe für Km,n.