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mit derselben willkürlichen Zahl Ʒm, die nur nicht null und nicht unendlich sein darf, multiplicirt werden. Es ist demnach

5) Kon= ac-† bi:(a1-† bz:(a2+...+ bn: an)= = a0 †. 6, b1:(6,a4 107 bz:(aa+ S263 bz:(63 as+..+. n— 1 n bn: Gn an);

und zwar ist jeder Kettenbruch, welcher mit dem ersteren dieselbe Reihe der Nährungsbrüche*) hat, in dieser Form enthalten.**)

III.

Folgerungen. Die Zähler Z und 21 der beiden Kettenbrüche: bs ba-.. bm-† bm-r bm 44 bm-†e.. bn- bn**) u as

nd 28 28— am-lr a am ℳ* an a bn bn 2.. bs bs— 6 bm bm— ba bs 1 2 1 1 an an—-4 an-— 2 as àas— 1

am am*ℳ. as— 1 as haben gleiche Werthe gemäss der Relation 3. Wegen der Gleichung 4) ist Z— Pm+. ,s. Pm,n+ bm+ Pm+ s. Pm Tam und

2= Pm+ n. Pm.s+ bm-i. Pm-S ,n. Pm-H s. Daher ist

Pm, n. Pm Aℳ, S— pm n. Dm,s—— bm it(pm+on. Pm+ e,s Pm+r n. Pm+ s)

Pm+.1n. Pm-s— Pm+ e,n. Pm Pus wird=— bm+z(pm+. Pm as— Pm n. Pm+. 28) sein

Die Fortsetzung dieser Betrachtung führt aùf die Gleichung: S— m 38 6.) pm,n. pm- ,s— Pm n. Pm=(— 1) bm+. bm †r. bs- bs bs+ ps †n**) n— m

6 ¹) Pm Pm-. 1'n— 1— Pm-†un. P,n“——) bm † ⸗⸗ bm+.. bn— i. bn 8 Aus 6.) lassen sich wichtige Schlüsse auf die Beschaffenheit des Näherungsbruches Km,n ziehen. Sind z. B. die Theilnenner constant, die Theilzähler bm unter der Form Smx****†) enthalten, so dass also pm,n eine ganze rationale algebraische Funktion von x ist= pm.n(X)***††) so lässt sich

mit Hülfe von 6) feststellen, dass pm,n(X) und pm+ n(x) d. s. Zähler und Nenner von Km,n keinen gemeinschaftlichen variabeln Factor haben.

*) Die Zähler dieser Brüche sind im Allgemeinen nicht gleich.

**) Ueber eine andere Art von Transformation eines Kettenbruches siehe Seidel, Bemerkungen über den Zusammenhang zwischen dem Bildungsgesetze eines Kettenbruches und der Art des Fortgangs seiner Näherunge- brüche. Abhandl. der k. bayer. Akad. der W. II. Cl. VII. Band VII. Abtblg. p. 567.

***) m,s und n sind ganze absolute Zahlen u. m= s= n.

2rf) Fär ps—t,n. Ps,s— ps,n. Ps 1,s ergiebt die directe Ausrechnung den Werth:— bs. bs+r. Pe ,n vergl. Stern. Analysis 6 142. Worpitzky§ 5.

„e*f†) ⸗ ganze positive Zahl. Der Gauss'sche Kettenbruch gehört hierher. Disquis. gener. Sect. II. ††) Abschnitt II Seite 4.