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Aus der Formel 2. wird in gleicher Weise ein zweites System von Gleichungen abgeleitet. Die Auflösung dieses führt zu dem Resultate: an,— 1 an,— 1 bn„ an-4,— 1— bn, an—„ 1 Piu e bn— 1 an— 2,— 1— bn— 1, an—:„ 1= D.

bm+, am+.,— 1— bn+r, am+. ,1 bm+†.ᷣ 1, am— bm*+ am

Aus der Vergleichung beider Determinanten(D= D,= pm.n) folgt, dass der Zähler des Kettenbruches Kn,m= an+ bn:(an-+ bn-1:(an-,+†.. † bm+†: am) identisch ist mit dem Zähler des Kettenbruches Km,n. Also ist

3) pm,n= pn,m.

Da sich die Identität der Determinanten D und D;, deren Folge die Relation 3. ist, ohne Hülfe von 1. und 2 nachweisen lässt, so kann auch jede der Formeln 1. und 2 aus der anderen hergeleitet werden.

Nach. ist, well Pn., Dn=s aſez Jie Reihe der Gilieder pan l Du-z, an— 1 an— 2 am Pm,m+., Pn,m die Reihe der Näherungszähler, pn,m= am. pn,m+ũ+% bmr. Pn,m*†2 oder, da die Vertauschung der Indices zulässig ist: pm,n= am. pm†n+ bm †f 1. Pm+. Diess ist die Relation 1. Die Zerlegung der Determinante D führt zu einer neuen Gleichung*), welche die Formeln 1 uud 2 enthält. Die Summe der Glieder, welche den Faktor bs nicht enthalten, ist= pm,s— 1. Ps,n.

d** 5 2 h PMsieils o

2**)

Der zweite Theil enthält den Factor bs und ist= bs.

Also ist: 4) Pm, n= pm,s- 1. Ps,n+ bs. Pm,s-— 2. Ps- ,n

Wird s= n gesetzt, so entsteht aus 4): pm,n= pm,n-1. Pn,n+ bn. Pm, n- 2. Pn+ n und weil pn,n= an, pn+fn= 1 ist, pm,n= an. Pm,n-,+ bn. pPm,n-: d. i. die Gleichung 2. Tritt ferner ml an die Stelle von s in 4) so ist pm,n= pm, m-†⁴ · Pm+n+ bm+†.. Pm, m— 1. Pm+ p, welche wegen pm,m†= am und pm,m-= 1 in die Relation 2. übergeht.**†)

Der Werth des Kettenbruches Kon und seiner Nüherungsbrüche bleibt unverändert, wenn irgend ein Theilzähler bm, der zugehörige Theilnenner am und der darauf folgende Theilzähler bm-P4

*) Worpitzky. **) Salmon. Vorlesungen zur Einführuag in die Algebra der linearen Transformationen. 1863. III. pag. 27.

***) Die gewöhnliche Ableitung dieser Gleichung(Crelle, Band 10 Nr. 1§ 7):

Porn pm 1. ps Lun+† bs. pm,s—2 etc.

erhr+ bmr i:(amr+ bm?:( bs: Seee) = am m- 1:(am m-2: C.. 3 Pm n ps+,n Danhess 1Mn 3+ bs. pm.õr,s— 2

„erf) Im Beweise von 4. wird übrigens eine der Gleichungen 1., 2. vorausgesetzt.

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