4

Wird die Reduction in umgekehrter Ordunng vorgenommen*) und der Zähler des Ket- tenbruches Km,n= am+ bm 1:(am-+ bm+†:(am-C; f... bn: an.) mit pm.n bezeich- net, so ist der Nenner desselben pm-Pun und es findet die folgende Relation Statt:

1) pm,/= am. pm-,n bm r. pm n.

Wenn der Kettenbruch Km,n= am+ bm-:(..+ bn: an) 2zu Grunde gelegt und die Relation qm,n= pm†n benutzt wird, können die beiden ersten Gleichungen durch die eine:

2) pm,n= an. pm,n-—,+ bn. pm, n- z ersetzt werden.

Jede der beiden Formeln kann dazu dienen, Zähler und Nenner des Kettenbruches Km,n unmittelbar aus den Theilzählern und Theilnennern zusammenzusetzen. Km,n ist ganze algebraische Funktion von bm, bm.... am, am-i...

Wird z. B. in der Formel 1. für m der Reihe nach m, m-†H 1, m-† 2.. n gesetzt und

3 pn— b beachtet, dass Kn—“,,,/= Lhei an-+, mithin Dn.n= an, Pn,n an pn— 1,= an- 1. Pn,n+ bn, also pn+†. ,,= 1 ist, so entsteht ein System von n-m+† 1 linaren Gleichungen:+ 1. pm,n— am. Pm+. 41,1— bm+† 1. Pm+ 2, 1—9 H 1. pm+ ,n— am+. Ppm+ n— bm 2 Pm+ 3,T— o 4. 1.Pre-en— Ane Diun= ba 1. Pn= O — 1. pn—„n— an— 1. Pn,n— 0 + 1. Pn, n 0 Aus der Auflösung desselben entspringt für pm,n die Determinante: 1 1— am,— bm+: **) 0+ 1,— am+1— bm H2 + 1,— am+,— bm+ 37 Ppm.,n—— Jl.— an=— ba—: bn+ 4.— an—. an 1 à— 1 am.— 1 bm-ti, am-— 1,— bm t, am 41, 1 bm*r. am+,-— 1,—— bm 5 2» àm 85 2 1= D Ti ti aerel bn— 1, an— 1,+. 1 b a „ n— bn. an

*) Gust. Emsman. mathematische Excursionen. 1872. pag. 104. + 1— am,— bm. 1 1 S 1, am+† 1 8 † 1

**) Der Nenner ist=— 1