1+ Hier ist an= 0, b.= 1, a4= a,=..= an= 1*)

bn

——

Man kann aber auch die Eigenschaften dieser letzten Form, deren Werth gleich dem umge-

1+† b. 1+ bz kehrten Werthe von 1 ist, aus den Eigenschaften der vorigen

Form ableiten. 4 3.

1

Wenn die Anzahl der Brüche

as welchen der Kettenbruch zusammengesetzt ist, Im

unendlich gross wird, so entsteht der unendliche Kettenbruch. Die normalen Kettenbrüche sind periodisch, wenu die Theilnehmer von einer beliebigen endlichen Stelle an periodisch wiederkehren. Die Periode kann ganz oder zum Theile symmetrisch sein. Ist die Anzahl der periodischen sym- metrischen Theilnenner ungerade, so nennt man den mittleren Theilnenner das Mittelglied, die vor- hergehenden Theilnenner der Periode die periodischen Glieder, den Nenner des vollständigen Quo- tienten, aus welchem das Mittelglied(ein unvollständiger Quotient) entspringt, mittleren Nenner.**) Hat ein Kettenbruch die periodischen Glieder ak, ak †+, ak+†,. akm und den mittleren Nenner D, so wird die Periode durch das Schema ak ak-†,.. ak-†m(D) bezeichnet.

II.

Hauptgleichungen.**)

Man kann den endlichen Kettenbruch und die Näherungsbrüche auch des unendlichen Ket- tenbruches in gewöhnliche Brüche verwandeln d. i. dieselben berechnen. Bei der Reduction wird kein Bruch aufgehoben. Beginnt dieselbe von vorne, so ergeben sich die Gleichungen:

Pom= an. pom-+ bn. pom- dom= an. do'n-1+ bn. pom-2

²) Gauss. Disquisitiones generales circa seriem infinitam 1+ ff 1+. 1812. Werke III. pag. 125— 130.

**½) Stern. Crelle, Journal Band 53. Zur Theorie der periodischen Kettenbrüche. 1857. Die periodischen Glieder, welche vor dem Mittelglied vorhergehen, können wieder für sich eine symmetrische Reihe bilden. Eben- daselbst§ 10.

***) Stern. Lehrbuch der alg. Analysis.§ 139. 140. 141. 142. Derselbe in Crelle-Journal Band 10 Worpitzky, Untersuchungen etc.