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3) e== 2. Die Gleichung wird y== a a † 4—(a⸗ 4.«0). = O macht nun y= 0, auch X= a V2 macht y= 0. Die Curve bildet(odgoeh) eine in Form der Zahl 8 verſchlungene Schleife. Dieſer Fall führt den Namen der Bernoulli'ſchen Lemniſkate.
4) c= a, doch= 2 as, wird beſſer aus dem Differentialquotienten erkannt.
5) c= 22’ giebt die Gleichung y= 2a Wa(a⸗ †«).
Für x—= 0 wird y— a, für X= a] 3 wird y= 0, für größere X wird y imaginär, ent⸗ ſpricht der ellipſenähnlichen Curve iklb.
Den ſechſten und letzten Fall eines noch größeren e wollen wir hier nicht berückſichtigen. Die Curve
würde mit dem wachſenden e immer kreisartiger, indem die Grenze für c= o allerdings einen Kreis von 00 Radius zeigte.
Der Differentialquotient(et) wird im Allgemeinen= 0, wenn a= X† y. Daß das c dabei nicht vorkommt, zeigt, daß dieſe Regel für alle Formen der Caſſini'ſchen Curve gilt. a= Xy bedeutet aber die Hypotenuſe eines Dreiecks, deſſen Katheten die beiden Coordinaten eines beliebigen Punktes im Kreiſe ſind. Die Hypotenuſe iſt ſein Radius. Alſo iſt a(die halbe Excentricität unſerer Curve) der conſtante Radius eines Kreiſes, welcher an den verſchiedenen Formen(Ausnahmen ſogleich!) die Punkte trifft, wo die Tan⸗ gente parallel der Axe läuft; wir fänden, daß es die Maxima ſind. Alſo verbindet ein Kreis aus dem Coordinatenanfangmit dem Radius= a alle Maxima der verſchie denen Curvenformen.
Die Gleichung des Falles 5) wird aber durch dieſe Annahme a= P y nur befriedigt, wenn y= Za iſt; in dieſem Fall aber iſt= 0. Alſo hat Fall 5) ſein Maximum und den Berührungspunkt mit jenem Kreis auf der Ordinatenare. Bei noch weiteren Curven des Falles 6) ſtreitet die Annahme a⸗=*2+ y“ begreiflicher Weiſe mit der Gleichung der Curve. Sie werden von jenem Radius nicht mehr erreicht.
Die Curve des Falles 4) fordert zu ihrem Verſtändniß die Ableitung eines Differentialquotienten, in welchem e wirklich vorkommt(in dem obigen war c durch die andern Größen vertreten). Dieſer Differential⸗
quotient wird geradezu aus der allgemeinen Formel: y= c.+ 4 a⸗X—(a-+ Xz) abgeleitet und lautet 4 a²x
V
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Für c= a, wie es der Fall 4) fordert, zeigt ſich dieſer Differentialquotient durchweg= 0, wenn X= 0 geſetzt wird, ein Beweis, daß für dieſen Fall auch auf der Ordinatenaxe noch Punkte wagrechter Tangenten lie⸗ gen. Die hier zu weitläufige Aufſuchung des zweiten Differentialquotienten würde uns zeigen, daß alle ſolche Punkte Minima ſind. Fall 4) ſtellt die Geſtalt fpdrtugti dar. Die ganze Curve mit allen Modiſicationen ſin⸗ det eine ſchöne Anwendung in der Theorie der optiſchen Erſcheinungen für zweiaxige Kryſtalle im polariſirten Lichte*).
dann, freilich minder einfach als der obige: 3— X
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Zur leichten Anwendung der in dieſem Aufſatze enthaltenen Regeln iſt beſonders noch die Conchoide und Ciſſoide, auch die Evolute der Parabel und die der gleichſeitigen Hyperbel zu empfehlen. Die Conchoide hat die
; 2,2 2/ 2 2 8 r;.. Gleichung yX=(bℳ y)(a— yn) und die Ciſſoide die Gleichung y= Ueber Conſtruction und
*) Pouillet, Lehrbuch der Phyſik, überſetzt von J. Müller,§. 444.