1 Eigenſchaften derſelben giebt unter Andern Klügel's alphabetiſches Wörterbuch der reinen Mathematik bei den betreffenden Artikeln genügende Auskunft.

Die Gleichung der Parabelevolute oder Neil'ſchen Parabel wird noch einfacher, wenn man ihren Coordina⸗ 16 3 2724

tenanfang verlegt und ſtatt«— 2, wie in§. 29, 6), jetzt« ſchreibt. Sie heißt dann: 8== und hat

ihren Scheitel zum Coordinatenanfang.

§. 33. Es folgen hier noch einige Beiſpiele, welche zeigen ſollen, wie auch außer der Curvenlehre die Dif⸗ ferentialrechnung zur Löſung von allerlei Aufgaben geeignet iſt.

Welches iſt das größte Rechteck, das aus einem Kreis, deſſen Radius* gegeben iſt, geſchnitten werden kann?

Die Baſis des Rechtecks ſei= x, ſein Inhalt= y, ſo iſt nach einem bekannten geometriſchen Satz die Höhe— V4r—«. alſo der Inhalt 5——* VrE=. y iſt Function von X. Jede Aenderung der Baſis

hat eine Aenderung des Inhalts zur Folge. Bis zu einer gewiſſen Grenze wird z. B. durch das Wachſen der erſteren auch der letztere wachſen, dann aber abnehmen. Sobald alſo der Zuwachs von y anfängt, negativ zu

. d 4.. werden, wird auch der Bruch(Zuwachs des Inhalts durch Zuwachs der Baſis) negativ, vorher wird erdurch

7 dy. 4.. 0 gegangen ſein und= 0 giebt uns den Moment vor dem Wiederabnehmen des y oder das Maximum des

Inhalts.(Es könnte auch, wenn wir im Dargeſtellten die Ausdrücke„Wachſen“ und„Abnehmen“ vertauſchen, von einem Minimum die Rede ſein. Welches von beiden der Fall iſt, läßt ſich entweder aus der Natur der Aufgabe erkennen oder führt wiederum das Zeichen des zweiten Differentialquotienten darauf. Denn dieſes zeigt uns, indem es angiebt, ob von zwei dieſem Momente folgenden Veränderungen die zweite größer iſt, als die erſte, durch das mit y übereinſtimmende Zeichen ein Minimum, im andern Fall ein Maximum an.)

8ͤ X2— 41r 2— 2X ² 3. 2 2 In dieſem Fall iſt*—= V! 4 T“ Dieß wird= 0 für ein= 21r. V 41r2— X2 —

— dey 4 XV 4r X oder X— V 2. Da nun.. und der Werth X= 2 1*˙, ſo verwandelt ſich dy„ z....„...„ und wir haben hier ein Maximum, und zwar für X= rV 2 die Quadratſeite. Das größte verlangte

Rechteck iſt alſo das Quadrat.

§. 34. Nach angeſtellten Verſuchen verhält ſich die Haltbarkeit zweier gleichlangen Balken, d. h. der Wi⸗ derſtand, den beide dem Zerbrochenwerden entgegenſetzen, wie das Product aus der Breite und dem Quadrat der Dicke bei beiden. Der ſtärkſte Balken wird alſo aus einem cylindriſchen Baumſtamm geſchnitten, wenn für das Rechteck, welches den Durchſchnitt bildet, die Baſis, multiplicirt mit dem Quadrat der Höhe, ein Maximum bildet. X ſei die Baſis, ſo iſt wie in der vorigen Aufgabe 7 4r.— x* die Höhe. Die Function X(4r*— X), dy—„ 2 5 22„.—„— 2 r 4ͤ 3 Dieß wird= 0 für X= Vs

Wird im erſten Drittheil des Durchmeſſers in n(Fig. VIII.) ein Perpendikel no errichtet und mo gezogen, ſo iſt mo= die verlangte Breite.

die wir wieder y nennen wollen, ſoll ein Maximum werden:

vo

§. 35. In welcher Entfernung wird eine kleine ſenkrechte Fläche am reichlichſten von einem in der Höhe In= b(Fig. IX.) angebrachten Lichte beleuchtet?

Die Lichtſtärke ſteht in dem umgekehrten Verhältniß zum Quadrat der Entfernung. Andererſeits wird eine Fläche um ſo ſchlechter beleuchtet, je ſchiefer die Strahlen auffallen, und zwar wächſt die Beleuchtung direct mit dem Coſinus des Einfallswinkels, alſo mit dem Sin(Fig. IX.).