16

und man könnte kurz auf ihr Daſein ſchließen, wenn man bemerkte, daß der Ausdruck des Tangentenwinkels 3 einer Grenze fähig wäre. X

Genaueres erfährt man durch folgende Betrachtung: 0 ſei Coordinatenanfang, ew ſei Tangente(Fig. VII.), im ſei Aſymptote. Es wird die Tangente mit dem Hinausrücken des Punktes e die Ordinaten⸗ und Abſciſſenaxe in immer andern Punkten ſchneiden; aber ſobald ſie Aſymptote geworden, wird der Punkt v in n., der Punkt w in m angekommen, alſo vo= no und wo= mo geworden ſein; dieß für die Bedingung Xx=.

5..., VO Nun iſt vo: wo= y: wo † X oder vo. wo+ vo. X= wo. y, giebt durch wo dividirt: vo+=

oder vo= J= ox. Ebenſo durch vo dividirt: wo+† X= Tey oder wo—— C- wy). Die Ausdrücke WO VO VO=- vo und ² ſind aber gleichbedeutend mit 34 und s, indem ſie die trigonometriſche Tangente und ihre factoriſche 0 ₰

WO V

Umkehr für den Tangentenwinkel darſtellen. Nennen wir alſo die Linien vo und wo kurz p und q, ſo iſt p

3 dX — v— X——([(X—— y v= Sx und J( 429).

Setzen wir in die Werthe dieſer Ausdrücke X= H, ſo zeigt es ſich, ob ſie beſtimmte Größen annehmen. In dieſem Fall giebt es Aſymptoten, deren Lagen aus ihren Werthen zu erkennen ſind. Wird für X= O das P== 0O und q= 0, ſo geht die Aſymptote durch

den Coordinatenanfang. 8 zeigt uns dann für X= H den Steigungswinkel der Aſymptote.

Wird für X= oo entweder p oder 1= 0, während das andere endlich beſtimmt wird, ſo liegt die Aſymptote im erſten Fall mit der Ordinatenaxe, im letzteren mit der Abſciſſenaxe parallel. Sind p und a beide zugleich, ſo ſind keine Aſymptoten da. In gewiſſen, leicht zu findenden Fällen wird man zur Aufſuchung der Aſymptote ſtatt x das y= H zu ſetzen haben.

§. 27. Krümmungskreiſe. Nach§. 7 iſt der Krümmungskreis die Grenze der Kreiſe, welche 3 Punkte mit der Curve gemeinſchaftlich haben, für den Fall, daß dieſe 3 Punkte gegen einen zuſammenrücken. Es wurde dort ſchon gezeigt, daß er mit der Curve den erſten und zweiten Differentialquotient gemein haben müſſe, wenn auch dort dieſer Ausdruck noch nicht gebraucht wurde.

Die allgemeine Gleichung des Kreiſes iſt

(x-) è) ⸗

. 3 3 d g⸗ de). As= dy wenn a und die Coordinaten des Centrums ſind. Alſo iſt für den Kreis=— und a S is⸗ Die⸗

— 4 1. 1 d2² IX- 2 ſen Werthen nun die Differentialquotienten der Curve gleichgeſetzt: 1)— und 2) d— Eai⸗

dx² †f dy². ergiebt ſich aus 2): y 6=, und dieß in 1) geſetzt: dx²2+ dy ² d d2y 5

Endlich aus der Kreisgleichung durch Einſetzen dieſer Werthe: 0= Eieearh⸗

dx2(d*9)⸗ 5 0 V(da dy2)(Adx2+ dy 2): aiien r Tie)(Ara,

Die Art der Berechnung dieſer Formeln durch Einſetzen der Werthe mögen die angehängten Beiſpiele noch mehr verdeutlichen.

§. 28. Die Evolute. Wenn man aus den im vorigen d. entwickelten Werthen für« und, welche die Coordinaten des Krümmungscentrums ausdrücken, mit Hülfe der Curvengleichung ſelbſt x und y beſeitigt hat(denn 3 Gleichungen genügen zur Elimination zweier Werthe), ſo bleibt eine Gleichung übrig, welche nur