nach der poſitiven Seite der Abſciſſenaxe hin, wenn der Differentialquotient 80 für poſitives y einen poſitiven

Werth hat. Hat die Curve auch einen Zweig mit negativen Ordinaten, ſo muß derſelbe Differentialquotient für negatives y negativ werden, alſo für dieſen Zweig die Tangente ſinken.

Allgemein ausgedrückt, entfernt ſich alſo die Curve von der Abſciſſenaxe nach ihrer poſitiven Seite hin, wenn der Differentialquotient daſſelbe Zeichen als die Ordinate hat, im umgekehrten Falle nähert ſie ſich.— Beiſpiele ſpäter!

§. 24. Concavität und Convexität der Curve. Der Zähler des zweiten Differentialquotienten bezeichnet die Grenze des Stückes, um welches die Differenz der dritten und zweiten Ordinate größer iſt, als

... 5 12y die Differenz der zweiten und erſten. Wenn alſo dieſer Zähler(oder auch der ganze Bruch 43, denn der GX*

Nenner als Quadrat iſt immer poſitiv) einen poſitiven Werth für poſitive Ordinaten hat, iſt dieß ein Zeichen, daß auch für die kleinſte Strecke die Ordinaten nach der poſitiven Seite der Abſciſſenaxe hin einander um wachſende Stücke übertreffen. Dabei muß die Krümmung gegen die Axe conver erſcheinen. Daß für die ne⸗ gativen Ordinaten daſſelbe gilt, wenn der zweite Differentialquotient negativ iſt, wird leicht eingeſehen. Alſo allgemein: Hat der zweite Differentialquotient gleiches Zeichen mit der Ordinate, ſo iſt die Curve conver, im umge kehrten Falle concav gegen die Abſciſſenaxre*).

§. 25. Marima und Minima. In der Regel wird bei einer Curve, die irgendwo eine größte oder eine kleinſte Ordinate, alſo einen höchſten oder einen niedrigſten Punkt über der Abſciſſenaxe hat, der Lauf der Tangentenrichtung über die Krümmung hin der Art ſein, daß ſie einmal parallel mit der Abſciſſenaxe zu liegen kommt. In dieſem Augenblick muß der Werth der trigonometriſchen Tangente ihres Winkels vom Poſitiven zum Negativen übergehen, alſo durch 0 gehen.(Den ſeltneren Fall, wo dieſer Uebergang durch, d. h. die Richtung ſenkrecht gegen die Abſciſſenaxe, geſchieht, müſſen wir hier aus Mangel an Raum übergehen.) Wir haben alſo ein Mittel in Händen, den Ort dieſer größten oder kleinſten Ordinate zu finden. Wir ſetzen nämlich

den Werth des 3= 0 und beobachten, welchem X dieſer entſpricht.

Zur Entſcheidung, ob der gefundene Fall nun ein Maximum oder Minimum ſei, dient der zweite Diffe⸗ rentialquotient. Denn bei dem Maximum iſt, wie ein Blick auf die Figur zeigt, an dieſer Stelle die Curve concav, bei dem Minimum convex.

Alſo Regel: Man ſetze 2 O und ſubſtituire den daraus gewonnenen Werth von

d2y

in den Werth von. Zeigt ſich der letztere dann von gleichem Zeichen mit der zuge⸗ dX”“*

hörigen Ordinate, ſo iſt das gefundene X Abſciſſe des tiefſten Curvenpunktes, im um⸗ gekehrten Falle des höchſten.

..„ dy...„ Giebt es keinen Werth von v, für den O iſt, ſo exiſtirt weder Maximum noch Minimum(den, wie X 5„ 6 6 dx— geſagt, übergangenen Fall abgerechnet, daß oder 85 0 iſt).

§. 26. Aſymptoten. Die gradlinige Aſymptote an einer Curve kann man als die Tangente am un— endlich entfernten Punkte bezeichnen, wenn man den Begriff unendlich nach der Erläuterung des§. 1 verſteht. Es heißt dann: Eine Tangente nähert ſich in Bezug auf ihre Lage um ſo mehr der Aſymptote, je entfernter man den Curvenpunkt annimmt. Es iſt alſo die Aſymptote die äußerſte Grenze der Tangenten für X= G◻

*) Daß wir im Widerſpruch hiermit in§. 4 und 5 für concave Curven, wie Parabel und Kreis, einen zweiten Differential⸗ Daß w p S 3 quotienten mit gleichem Zeichen als y fanden, rührte daher, daß wir bei der Entwickelung deſſelben, wie es für jene Figuren natürlicher war,(—)—(— y) ſtatt wie nun:(G»y)— G/—) geſchrieben hatten.