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Das Einzige alſo, was von dem Bisherigen abweichend hier auf den erſten Blick Schwierigkeiten machen könnte, war, daß ſich in die Entwickelung noch dy einzudrängen pflegt, das wir zur Bildung des zweiten Differentialquotienten nicht unterbringen können. Man hat aber nur dann, wie das Beiſpiel zeigte, den Werth für dy aus dem erſten Differentialquotienten zu entnehmen und an ſeine Stellen zu ſetzen, ſo kann ſich nur noch dx vorfinden, welches bei der Bildung des zweiten Differentialquotienten durch Wegdividiren verwendet wird.

§. 22. Um die Bedeutung des zweiten Differentialquotienten zu faſſen, rufen wir uns zurück, daß der erſte Differentialquotient, ehe die Veränderungen des y und x zu Differentialen eingeſchrumpft waren, das Ver⸗ hältniß der Differenz zweier Ordinaten zu der Differenz der zugehörigen Abſciſſen bezeichnete oder allgemein das Verhältniß einer Veränderung des y zu der zugehörigen Veränderung des v. Nehmen wir nun eine dritte Ordinate hinzu, oder allgemein: eine nochmalige Veränderung des y, entſtanden durch eine nochmalige(aber der erſten gleiche) Veränderung des x, ſo laſſen ſich nicht nur 2 Differenzen(zwiſchen der erſten und zweiten und zwiſchen der zweiten und dritten Ordinate oder den entſprechenden Veränderungen des y), ſondern es läßt ſich auch noch eine Differenz dieſer Differenzen unterſcheiden. Wie das Verhältniß dieſer Differenzendifferenz zum Quadrat der Abſciſſendifferenz dem zweiten Differentialquotienten als feſter Grenze zudrängt, ſoll noch das fol⸗ gende Beiſpiel darthun:

y ü= axs+ bx(k iſt der Zuwachs des x, welcher das y um h wachſen macht). y †h= axs+† 3 ax k+† 3 axk- † aks+† bX+ bk. Abermals der Zuwachs k zu x, ſo daß ſtatt X wieder X P k ſtehe, mache nun das y †h noch um a wachſen: y †h+g= axs † Z ax k † 3 axk* † aks+† 3 ax k+ 6 axke+ 3 aks+ 3 axk*+† 3 aks †faks+ bx+ bk*ℳ bk. Ziehe ich y h davon ab, ſo bleibt q= 3 ax-k † axk*+ 3 aks+ 3 axke+† 3 aks+ aks † bk. h= 3 ax«k+ 3 axk+ aks+ bk = Z axk*+3 axk*+ 3 aks+ Z aks= 6 axk+ 6 aks. —dly=h= 6 axk*+ 6 aks

6 ax+ 6 ak.

Wird durch das Zuſammenrücken oder Rückverſchwinden aller dieſer Veränderungen 4= 0, h= 0 und

kK= 0, ſo iſt die Grenze 3

Daſſelbe erſcheint ſogleich durch zweimaliges Differenziren:

6 ax.

F ax e bx dy= 3 ax dx+ bdX d5 33 Zax= † b dX d d-= 6 aXxdXx dX d2y.. l.= 6ax, wie oben.

Einige geometriſche Anwendungen.

§. 23. Steigen und Sinken der Curve. Der erſte Differentialquotient bezeichnet die trigonometriſche Tangente des Winkels der Tangente mit der Abſciſſenaxe, und zwar haben wir dieſen Winkel als nach der poſitiven Seite der Abſciſſenaxe hin geöffnet angenommen. Demnach gilt die Regel: Die Tangente und mit ihr die Curve ſteigt