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§. 20. Es iſt nur noch übrig, zu zeigen, wie ſich das Differential einer Potenz oder Wurzel finden läßt,

deren Baſis ſelbſt noch zuſammengeſetzte

Functionen, entweder Summen, Differenzen, Producte, Quotienten,

Potenzen oder Wurzeln enthält. Es läßt ſich das an einem Beiſpiel zeigen:

2 b— 1 4 —(* V;) Setzt man zuerſt den ganzen Werth der Parentheſe= v, ſo iſt — dy= 5 vsdv.§. 12. 1— dy iſt aber d(ax*‿— eVXy= d(ax) d()— d(cvxX+y).§. 15. d(axe)= 2 avdx.§. 12. und§. 17. b bdy. 46)—.§. 18. und§. 19. d(cvx+ y) ſetzen wir= deV w= edVw= 8. S. 13. 2 V w Aber dw d(x* y)= dx* dy.§. 15. — cdx dy Alſo SeA Nhe lel e 2 V X+ y Und dv—= 2 axdx Bür Ci- ad — ü dy cdx C Alſo dy= 57 ax-+ 1— 1) 3[24”+ de 2] 3 5 2 V P w

Hier läßt ſich dy zum gemeinſchaftlichen Factor der einen Gleichungsſeite, dx zu dem der andern machen und J 3 9 ſo endlich der Differentialquotient finden.

§. 21. Der Differentialquotient hatte in den meiſten der genannten Beiſpiele einen Werth, welcher ſelbſt noch die veränderlichen Größen enthielt, nämlich in allen den Fällen, wo die gegebene Gleichung den erſten Grad in Bezug auf die Veränderlichen überſtieg. Es entſprach das der Erfahrung an den Curven, daß wir für die trigonometriſche Tangente des Winkels, den die geometriſche Tangente mit der Axe des x machte(denn dieſe Tang a bezeichnete ja das 38), einen noch allgemeinen Werth fanden, der erſt für jeden beſondern Punkt

dX

(alſo für ein beſtimmtes x) ein beſonderer wurde.

Demnach läßt ſich in ſolchem Falle der Differentialquotient ſelbſt noch als eine Function von x anſehen

dy

—— g. dx und ſein Werth aufs Neue differenziren. gefunden werden

Es wird dann ein Quotient von der Form—

„. ,—.... d2y—

können, den man den zweiten Differentialquotienten nennt. Man bezeichnet ihn wobei das d=nicht als dX“*

Potenz mit dem Exponenten 2, ſondern als das bloſe Zeichen wiederholter Differenzirung betrachtet werden muß. Ein Beiſpiel erläutere die Sache:

dy a. 8 b dy a d' 1( 2*) 4 3 Ab a a. 2 dy. 2—.———. d—* 5 „ 9⁄ ga dx 2 y Alſo dx2 dx dx 5 2 y 4 kur y ſeinen aa dx fär dv ſer W adx,. ird dieß 2 a2dx a2dx a 2d x 3 X dy ſei h eſetzt, wird dieß=—— Werth ax und für dy ſeinen Werth 2„ eingeſetzt, 3 1eWee 19 dy d— 2 2 2 ber dd= weir ſo mußte ao oder 10—— ſein d.—=— ſo mußte— oder=——. Wenn aber dar 2W sß ßte ⸗ dx² 4V(an)⸗ 43