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Es giebt übrigens noch eine kürzere Methode, zu dieſem Reſultate zu gelangen. Sieht man nämlich gleich b anfangs den Zuwachs von x und y als ſehr klein an oder betrachtet man die Gleichung, welche dy und dx enthält, als Näherungsgleichung, die um ſo richtiger i*ſt, je kleiner dy und dx gedacht wird, ſo darf man ſchon während der Rech⸗ nung nach Regel 6 des§. 1 jede höhere Potenz dieſer nun als wirkliche Größen geltenden Zeichen gegen ihre erſte Po⸗ tenz vernachläſſigen, ſowie man dieß auch thun dürfte, wo ein Product aus dieſen beiden kleinen Werthen aufträte. Am Schluſſe der Rechnung aber, wo der Differentialquotient erſcheint, iſt dann immer wieder der oben erklärte

Begriff dieſer Zeichen nicht für kleine, ſondern für verſchwundene Werthe aufzunehmen. Dieſe Betrachtungs⸗ weiſe iſt zwar der erwähnten Doppeldeutigkeit wegen nicht ſo einleuchtend, aber für das Folgende ſo bequem und kurz, daß wir ſie zur Entwickelung der folgenden Regeln benützen und uns begnügen werden, zu einigen Fällen die Begründung auch auf die Weiſe zu ſetzen, daß wir die Differenzen der Veränderlichen wie früher bis zum Schluſſe beliebig groß laſſen und erſt nach Bildung des Quotienten vernichten. Eine ſolche Begrün⸗ dung iſt übrigens in allen nachſtehenden Fällen leicht und ſie bleibt nur der Raumerſparniß wegen hier im Allgemeinen weg.

Obige Gleichung y= x* würde nun ſo behandelt:

y+ dy== 2 Xdx+(dx)“

2

y X und(da)“ weggelaſſen,

dy= 2 xdx und 18= 2 Xx. 2 xdx heißt das Differential der Function Xe oder d(X*)*). §. 12. Kubiſche Gleichung: y= XS. 1 I

X+ 3 X2dx+(3 Xdx=+ dX3)

X3

1'

dy 3 2dx und 5= 3 X. 3 X dx iſt das Differential von x³ oder ⁴s). Höhere Gleichung allgemeinen Grads: y= x.

y dy= nx 1dx 1 HDn zds. e e Davon y— a weg, ebenſo die Glieder, welche mit höheren Potenzen von dx multiplicirt ſind, giebt dy= nXn-= dx und 3 xXE l.

mxn-ildx iſt das Differential von an oder d(Xn).

Es folgt daraus die Regel: Das Differential einer Potenz wird gefunden, indem man ihren Exponenten um 1 vermindert und ſie mit dem unverminderten Exponenten und mit dem Differential ihrer Baſis(hier dx) multiplicirt.

§. 13. Wurzeln.» VX läßt ſich auch ſchreiben yy= X.

1l'

Nach dem Vorigen dx nyn-ldy, d dx 3 7 oder dy= vF und der Werth von y eingeſetzt: n— 1 1 dx dx—(— 1——

dy— n=1— n)— dX V nXx I dy 1

Alſo

*) d(x²) unterſcheide man wohl von(dx)2, gewöhnlich nur dx². Das erſtere d(xX²) drückt aus, daß von x* das Differentiale geſucht werden ſoll, das letztere dx², daß der klein gedachte Werth dx auf das Quadrat zu erheben iſt.