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veränderlich ſein, wenn es eine der drei Seiten iſt, oder es wird ſich die Geſchwindigkeit einer Bewegung mit der Dichtigkeit des widerſtehenden Mittels verändern u. ſ. w.

Man nennt die Größe, welche durch eine Gleichung ſo von einer andern abhängig iſt, daß ſie ſich bei der Veränderung dieſer mitverändert, ihre Function.— In= ax war y Function der Veränder⸗ lichen x. Man kann ebenſo gut x als Function von y betrachten; doch iſt es bei den Curven gewöhnlich, die Ordinate als Function der Abſciſſe zu betrachten und von den Veränderungen der letzteren auszugehen.

Falls wir nun von einem beſtimmten Werth des x, dem ein beſtimmter Werth des y entſprechen muß, ausgehen und x von da aus verändern, ſo iſt unſere erſte Frage darauf gerichtet, welchem Grenzwerth ſich das Verhältniß zwiſchen den Veränderungen des y und x nähert, ſobald wir wieder auf den zuerſt beſtimmten Werth zurückweichen.

Die Veränderung des y entſpricht jener Ordinatendifferenz, die des X der Abſeiſſendifferenz obiger Bei⸗

ſpiele und ihr Verhältniß dem Bruch V.

X*— X* Wir wollen aber jetzt den Zuwachs des X mit k, die dadurch in y hervorgebrachte Veränderung mit h bezeichnen, ſo iſt für die Gleichung= ax nach eingetretener Veränderung:(N h)“= aÜ(X+† k) J== 2 yh An= ax+ ak.

Da aber y“ ax 2 yh+† h⸗= ak bhb a 2 n.

Je kleiner h und k wird, indem die Veränderung rückgängig wird, um ſo näher kommt der Werth Saibn ſeiner Grenze derſelben, wie wir ſie§. 2 auf andere Art gefunden haben.

Man giebt den Veränderungen des x und y, wenn man ſie im Zuſtand des Wiederverſchwindens auf⸗ faſſen will, die Bezeichnungen dx und dy und nennt ſie Differentiale. Begreiflicher Weiſe kann man dieſen bloſen Zeichen keine faßbare Größe beilegen, obſchon, wie wir geſehen haben, ihr Verhältniß eine feſt beſtimmte Größe iſt. Dieß Verhältniß der Differentiale(oder der Veränderungen im Moment des Verſchwin⸗

dens beider) heißt Differentialquotient und wird mit d bezeichnet. Er iſt daſſelbe, was wir bisher Grenzwerth genannt haben, und ſeine Aufſuchung die Hauptaufgabe der ganzen Rechnungsart.

§. 10. Die allgemeine Form der Gleichung erſten Grads iſt—= ax. b(x wachſe um k, y um h) Ah ö axak= b Da y— ax* h, Ir =4 a.

Die Grenze 33 bleibt ä= a, weil nichts in dieſem Werth war, das verſchwinden konnte. Durch die Gleichung

erſten Grads wird die gerade Linie dargeſtellt(Fig. V.). Bei ihr ſteht jeder Zuwachs der Ordinate zu dem der zugehörigen Abſciſſe in demſelben Verhältniſſe, alſo bleibt dieß auch für die verſchwindenden Veränderungen in Kraft. §. 11. Quadratiſche Gleichung: y= X. Wachſen beide, ſo wird y† h=(X+ k)“= X+ 2 Xk+ K. Davon die erſte Gleichung y 8 ſubtrahirt,

giebt h= 2 xk+ K* und 1.= 2X †+ k.

.. 28 9 Kommt dieß zur Grenze, indem h und k verſchwinden, ſo iſt d= 2 X.