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der Parabelpunkte zwiſchen s und t aber werden zwiſchen o und w fallen. Man kann ſich am unteren Ende der Linie ow einen Faden befeſtigt und über ihre convexe Biegung gelegt denken. Zuerſt treffe ſein freies Ende den Scheitel s. Wird er nun allmählich abgewickelt, ſo beſchreibt das freie Ende als immer größer werdender Radius die Pa⸗ rabel st. Dieſer Eigenſchaft wegen heißt die Linie ow die Evolute oder Abgewickelte der Parabel und die Parabel heißt in Bezug auf ſie ihre Evolvente oder durch Abwickelung erzeugte. Zur Abwickelung des unteren Parabelzweiges sg dient der obere Evolutenzweig oz.

Um die Gleichung der Evolute zu finden, haben wir nur die allgemeinen Ausdrücke für die Coordinaten

4. a²2+ 4)2² a m a des Krümmungscentrums zu vergleichen. Sie ſind x—m=— za= 2— 2, alſo= 3 4 y 23 anz und n==— 4*. alſo X= 16

Beide Werthe für X gleichgeſetzt giebt:

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m an? 16 3

ur oder Nam 2) m und n ſind jetzt die Veränderlichen, und zwar bezeichnet m die Abſciſſen, n die Ordinaten. Näheres über dieſe Linie, die auch die Neiliſche Parabel heißt, bei ſpäteren Beiſpielen.

Verallgemeinerung.

§. 9. Vergleicht man das in allen dieſen Fällen angewendete Verfahren mit dem in§. 1 aus der Ele⸗ mentarmathematik angeführten, ſo zeigt ſich als das beiden Gemeinſchaftliche, daß auf einen Werth, der nicht direct gefunden werden konnte, durch Näherung geſchloſſen wurde. Der Unterſchied aber zwiſchen beiden Ver⸗ fahrungsarten, der die letztere ungleich höher ſtellen muß, iſt: daß man ſich dort in der That immer mit einem allmählich entſtehenden und unvollendeten Reſultat begnügen mußte, während wir hier eine Näherung nur in Gedanken vollzogen, die uns dann immer in Form der Grenze auf einen ſicheren und vollſtändigen Werth wies. Dort erhielten wir z. B. ſtatt des Kreiſes immer nur ein Polygon. Hier erſchien z. B.§. 2 als Grenze aller Subſekanten die wirkliche Subtangente= 2, aber nur dadurch, daß wir in die Formel der Subſekante einen Werth verflochten hatten, der bei ihrem Uebergang in die Subtangente einer Grenze fähig war.

Unſer Verfahren in den bisherigen Fällen hatte indeß noch etwas Unbehülfliches und Unvollkommenes. Indem wir uns bei jedem Beiſpiel erſt den Werth vergegenwärtigten, den wir zur Grenze führen wollten und dann durch allerlei Umwandlungen zu einer Form gelangten, die uns für den Coincidenzfall der Punkte einen

Werth übrig ließ(denn der anfängliche, z. B. in§. 2 das a() hätte uns für das Zuſammenfallen

der Punkte(y= y“) noch den ganz unverſtändlichen Ausdruck 19 eliefert), ſchienen wir immer vom Zufall 3 0 g

abhängig, ob uns die rechte Umwandlung gelingen würde, ein Zweifel, der bei verwickelteren Fällen als dem der Parabel und des Kreiſes immer gegründeter wird. Man hat alſo eine Methode aufgeſucht und Regeln gefunden, ſolche Grenzwerthe ganz allgemein aufzuſuchen. Der wiſſenſchaftliche Zweig, welcher ſich damit beſchäftigt, heißt die Differentialrechnung. Die erſten Grundzüge derſelben ſollen hier dargelegt und an einigen einfachen Beiſpielen erprobt werden.

Wie in der Gleichung einer Curve zwei veränderliche Werthe x und y aneinander geknüpft ſind, ſo daß die Veränderung des einen die Veränderung des andern zur Folge hat, ſo können wir noch unzählige andere Fälle der Verknüpfung von 2 oder mehreren Veränderlichen denken. So wird z. B. die Fläche eines Dreiecks