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op und pq und ſowohl die Ordinatendifferenz als die Differenzendifferenz mit der Parabel gemeinſchaftlich haben. Wenn nun die drei Punkte wie bisher in einen zuſammenrücken, ſo iſt dieß der Berührungspunkt der Parabel und eines Kreiſes, und zwar eines ſolchen, der kurz vor dem völligen Zuſammenrücken der Punkte noch dreimal die Parabel geſchnitten hat. Sein Radius ſowohl als ſeine Lage wird ſich während des Zuſammenrückens der drei Punkte verändert haben, aber mit der Annäherung der letzteren hat auch er einer feſten Größe und Lage zuge⸗ ſtrebt. Dieſe Grenzgröße und Grenzlage des Kreiſes iſt uns wichtig, denn ſie giebt uns denjenigen Kreis, der ſich der Krümmung der Parabel am engſten von allen an dieſem Punkte möglichen Kreiſen anſchmiegt. Er mißt die Krümmung der Parabel an dieſer Stelle und heißt daher Krümmungskreis.

Sein Radius iſt, ſo lange wir ihn ſuchen, unbeſtimmt= r, ebenſo die Coordinaten ſeines Mittel⸗

punkts v— m und y— n. Nun iſt die Ordinatendifferenz d, im Grenzwerth für den Kreis nach§. 3

X

—— für die Parabel 25(§. 2).(An die Stelle der Mittelpunktscoordinaten X und y des Kreiſes müſſen hier die allgemeinen x— m und y— n geſetzt werden, da ſein Centrum nicht auf der

(— V—— 22)— 3 3. 2—— iſt im Grenzwerth für den Kreis r2 a2² x—= m a

nach§. 5= für die Parabel L5(§. 4). Alſo aus den Bedingungsgleichungen: 1)—

ir7

Axe zu liegen braucht.) Die Differenzendifferenz

2 2 und 2)—— ü8 nebſt der allgemeinen Kreisgleichung: 3) r-=(N— n)*+† E= m)’ laſſen ſich die

drei geſuchten Werthe m, n und r finden.

.... 1 r⸗ Gleichung 1) quadrirt, I7 e Ger und in 2) dividirt, giebt oder: X m)*(N n)= r'y.

Die linke Seite wird wegen 3):(r=—(— n)*)(y— n)= ra(y— n)—(y— n)s= r'y, alſo

— 3 r=(V— y n)=—(y— n)s und 4) ren=—(— n)s. Alſo iſt n=— Aber nach 2) iſt .=) 493 4 ASA N,e 4* —; n. alſon=—, alſo iſt»—n= y † Dieß in 1) eingeſetzt, giebt a G* 4 G 3y 4 ay⸗ 2y+ 4y a*+ 4y2. —— 27 G- m),( 4)= 1I.=«Xt43- und X=m= ta. Um den Radius 5. 4 ys zu finden, ſetzen wir in die Gleichung 4) ren=—(y— n)s den Werth für(— n)= y† 1 ein, alſo: . 4 v3- 2 4 v3 2. 4 v a2 4 v33 ren=— G*)——( 3)“* Nun n eingeſetzt:———(n oder 2 3 V(az=. 4 ax)s 12=(42— 49. und weil y= ax, r= N 4a). 4 a* 2 a2² . 7 VWas. Für den Scheitel der Parabel, alſo X= 0, wird der Krümmungsradius= e S— n wird= 0

und m= 2. Das erſte und letzte ſagt daſſelbe: der Mittelpunkt des Krümmungskreiſes(das Krümmungs⸗ centrum) falle um— vom Scheitel weg auf die Abſciſſenaxe.

§. 8. Wenn es aus dem Vorigen deutlich wurde, wie das Krümmungscentrum beſtimmt wird und daß jeder Parabelpunkt ſein eignes Krümmungscentrum hat, ſo wird es auch einleuchten, daß für eine ununter⸗ brochene Reihe von Parabelpunkten eine Reihe zugehöriger Krümmungscentra vorhanden ſein müſſe, die eben⸗ falls eine zuſammenhängende Linie bilden.

Iſt z. B.(Fig. VI.) 8o— 2, alſo o das Krümmungscentrum des Scheitels s, ſo wird Punkt u ein

ſchon entfernter liegendes Krümmungscentrum v haben und t ein noch entfernteres w. Die Krümmungscentra