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§. 4. Zieht man an die Parabel noch eine dritte Ordinate ra(Fig. IlI.), die von der zweiten ebenſo weit

entfernt iſt als die zweite von der erſten, und nennt ſie y““, ſo iſt rq= ry— dv rvy= pm(wegen ₰△ rvyp pmo)= vy— y dy= ye, ye, alſo rd=(C)().

Dieſes Stück, die Differenz der Ordinatendifferenzen, bildet ein Verhältniß zum Quadrat der Abſciſſen⸗ differenz, welches bei dem Annähern des Punkts p nach o(alſo bei dem Zuſammenrücken der zwei Ordinaten y“ und y“ gegen die erſte y) einem feſten Grenzwerthe zuſtrebt.

vare W

,»y“) X— X7— xX.

r7

Dieß Verhältniß iſt:(V—= V= G

(X— L)2— E

Aber S, nähert ſich der Grenze

28(nach§. 2). Ebenſo, wenn wir berückſichtigen, daß zwiſchen y“ und y eine der andern völlig entſprechende v'= y

j 177 79„.— 14 a— Figur obwaltet und py== dg= bd= X— iſt, nähert ſich Le„ dem 2y alſo der Werth u 2 9 2 v— 2(„) S y 1 1 der Grenze 2y y G) der Bruch=r aber wieder dem 2v. Alſo nähert ſich der ganze

2

a. a o,. a Werth der Grenze 2 Syy; wenn aber v= y“, iſt die Grenze 1 S5.

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§. 5. Suchen wir die Grenze dieſes Werthes G= G fr den Kreis, bei welchem ſich der

X X 7— 95 X S, 1 3. F 21 WV= Xy“ Bruch dem 5 und, e dem v nähert, ſo wird der ganze Werth Sr 3;; K72,e(r== y2) v2=(r.= y ²) S Dieß mit v E Vy erweilert, giebt— 5 3 3 2 3(= X)G S)(r)G v y) r2(V S) r2(V= v) V„) VA X — h, da h die Gren— 0 (X— X) y † XF)/ v) KV TVVV“ X*— X ze † y hat, ſ iſt die Grenze des Werths= Nun= X und»= y geſetzt, iſt die Grenze 5 S2 S) v X r rT

2 X VS 55 §. 6. Wir fanden ſowohl bei der Parabel als dem Kreis ſoeben den Ausdruck für die Differenzendiffe⸗ renz bei poſitivem y poſitiv; bei negativem y wäre er negativ geworden, weil y einen ungeraden Exponenten hatte. Betrachten wir aber den Kreis, ſtatt wie in§. 5. nach der Mittelpunktsgleichung, für ein Coordinaten⸗ ſyſtem, wo die Abſciſſenaxe den Kreis tangirt(Fig. IV.), während die Ordinatenaxe durchs Centrum geht, ſo

iſt die Gleichung y= r Vr s und alle Ordinaten werden poſitiv. Da wir aber nun ſtatt des y ein 2

y r einſetzen müſſen, wird obiger Grenzwerth

Nach der Gleichung hat y— r einen poſitiven und negativen Werth, alſo auch Dieſer negative

Werth muß zu dem unteren Zweig fa des Kreiſes gehören und das negative Zeichen der Differenzendifferenz bedeu⸗ tet, daß die Differenz der Ordinaten und y am unteren Zweig größer ſei, als die der Ordinaten y und J. umgekehrt wie bisher. Es wird alſo das— Zeichen dabei immer anzeigen, daß die Curve gegen die Axe conver iſt, vorausgeſetzt, daß man ſich auf der poſitiven Ordinatenſeite befindet, und das † Zeichen der Differenzendiffe⸗ renz deutet unter gleicher Vorausſetzung auf eine concave Curve(wie es in§. 4 die Parabel, in§. 5 der Kreis war und auch hier der obere Kreiszweig hf iſt). Andere Beiſpiele davon ſpäter(§. 24).

§. 7. Durch drei Punkte, die nicht einer Richtung angehören, läßt ſich immer ein Kreis ziehen. Suchen wir nun einen Kreis, der durch die Punkte o, p und der Parabel(Fig. III.) geht, ſo wird dieſer die Sehnen