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Sehne um o gedreht wird, der Punkt p an o fällt, für deſto richtiger würde« als der Winkel der Tangente gelten können, für völlig richtig, ſobald p nach o ſelbſt fällt. Der 2æ=— pom kann durch pm und om

1„ pm ausgedrückt werden: Tang&= am

. oin

Wird nun aber die Sehne Tangente, indem der Punkt p nach o rückt, ſo verſchwindet uns die Möglichkeit,

den 2᷑. a durch 12 zu beſtimmen, denn beide ſind dann auch verſchwunden. Suchen wir darum nach dem

on Werthe, dem ſich der Bruch— um ſo mehr nähert, je näher p dem o kommt. Die Gleichung der Parabel iſt= ax

sb heiße v, sd= xo, bo= y, dp= vy“ alſo om= X= x. pm— y y 235 bm Jy“— y“ Y“ y⸗. F2 F= F y“— y“ a o iſt Tanga=—=—=(weil X1— 4— 4(= a—————. Loiſt 3 om XX a( G S Se A a

Je näher nun der Punkt p an o rückt, um ſo ähnlicher wird v“ dem y; damit nähert ſich alſo der Aus⸗

a V der Pang für den Fall der Tangente halten. Ebenſo leicht finden wir die Subtangente nb. Denn——= be je mehr ſich aber p dem o nähert, um

druck immer mehr dem

2 2

8 und dieſe Grenze dürfen wir der Einleitung gemäß für den wahren Werth

Pin 2.. 2 3„+ y 2) b 2 y ſo mehr nähert ſich wh der Subtangente nb, zugleich aber nähert ſich d— S m 2 Alſo e— 2, . 2 y/2². giebt nb=—= 2 X.

In der That iſt die Subtangente bei der Parabel ſtets der doppelten Abſciſſe gleich. Errichten wir auf die Sehne po ein Perpendikel og(Fig. II.) und auf die Tangente eins oc, ſo iſt Pm b

opm obg, alſo—= 8

2. bm a vin 8 Nun nähert ſich p dem o, w dem n, g dem e und om dem Werth 27 alſo

be 7... 7 e 275 oder be= 4. Dieß iſt der Werth der Subnormale. Der Werth der Tangente und Normale iſt mit Hülfe der Ordinate daraus zu bilden.

§. 3. Daſſelbe Verfahren ſoll am Kreis angewendet werden. Seine Mittelpunktsgleichung iſt:= r=— X. Eine Sehne mache den 2˖‿a mit der Axe der X, ſo wird die trigonometriſche Tangente dieſes Winkels aber⸗ mals durch den Bruch gemeſſen werden, deſſen Zähler der Unterſchied der Ordinaten für die 2 Schneidungs⸗ punkte, deſſen Nenner der Unterſchied der entſprechenden Abſciſſen iſt. Alſo Tang a= 3, wie vorher. Um

X—- X

Quadrate zu bekommen, multipliciren wir Nenner und Zähler mit(+ y)(X+ X]), giebt Ger=e †) CA ee n e) lr=)-(ri=.)l(X X)

T g——— ang e(x,= x)X. L) OG)(K)e A— v)(“ †) (X²— X/(X+ xX⁵) X †+ X. (

Je näher der zweite Schnittpunkt dem erſten rückt, um ſo näher kommt I dem v und»“ dem y, alſo der 2* 2 X* 4. 7..... Werth— dem 2r;, 2= Tang%, wie es auch durch ähnliche Dreiecke ſehr leicht zu erweiſen iſt. Das— ⸗Zeichen aber bedeutet, daß der Winkel dießmal nach der entgegengeſetzten Seite geöffnet iſt, als wir es vorausſetzten, indem wir die Ordinatendifferenz»— y nannten. In der That iſt die dem Coordinaten⸗

anfang entferntere Ordinate»“, welche der größeren Abſciſſe X“ entſpricht, hier die kleinere. Der Ausdruck 22,

lehrt uns alſo auch, daß hier die Curve für die wachſenden Abſciſſen ſich herabſenkt, während die Parabel für

wachſende Abſciſſen anſtieg. 1*