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Aber darum, daß das Verfahren in ſolchen Fällen irgend einmal abgebrochen werden mußte, ohne daß man zum genauen Ziel gekommen war, hielten wir dieſe Rechnungen nicht für fruchtlos. Im Gegentheil ſchätzten wir bei praktiſchen Aufgaben ein ſolches unvollkommenes Reſultat einem vollkommenen gleich, wenn wir nur überzeugt ſein konnten, daß das noch Fehlende ein ſehr kleines Bruchtheilchen unſeres Maßes betrug, und eine Methode, welche bei jeder neuen Rechnungswiederholung nur dem Ziele näher kam, konnte uns eine, die es wirklich erreicht hätte, ganz gut erſetzen. Denn wir brauchten ja nur das Verfahren ſo lange fortzuſetzen, bis das Fehlende für unſern Zweck unbedeutend genug geworden war.

Aehnliche Fälle wie die genannten häuften ſich ſpäter ſo, daß wir ein eigenes algebraiſches Zeichen, das des ſogenannten Unendlichen, 0, gerechtfertigt fanden.

3. B. die Summe aller Glieder einer Differenzenreihe erſten Grads wird bekanntlich gefunden, indem man die Summe des erſten und letzten Gliedes mit der halben Anzahl der Glieder multiplieirt. So war für

die Reihe der natürlichen Zahlen von 1 bis n die Summe=(1+ n) 2

Wird hierin n ſehr groß, ſo wird man das in der Parentheſe dazukommende 1 wenig mehr daneben bemerken, oder wenn es fehlte, vermiſſen. Die Algebra ſagt daher, die Summe von H Gliedern dieſer Reihe

ſei= GO.— S. Das 1 iſt dabei unterſchlagen. O heißt aber weder irgend eine große Zahl, denn

dann wäre das Reſultat unrichtig, noch eine endloſe Zahl, denn die läßt ſich nicht denken; ſondern es liegt in dem Zeichen 0d die Bedeutung: Je größer die Zahl angenommen wird, deſto näher kommt die Gleichung der Wahrheit, hier z. B. die Summe der Glieder dem halben Quadrat ihrer Anzahl. Bei der Berechnung der Kreisperipherie fanden wir, daß der Umfang des Kreiſes mit um ſo größerer Genauigkeit durch den Umfang eines regulären Sehnen⸗ oder Tangentenvielecks erſetzt werden konnte, je mehr Seiten das Vieleck hatte.

Wir könnten alſo kurz ſagen, der Kreis ſei ein Vieleck von 0 Seiten. Dieß heißt aber weder: von ſehr vielen, noch von unzähligen Seiten. G iſt alſo ein Abkürzungszeichen, welches überall da angewandt werden kann, wo es ſich um ein je mehr, deſto mehr handelt.

Noch ein paſſendes Beiſpiel liefert die trigonometriſche Tangente.

Tang 90 läßt ſich nicht meſſen, aber wir geben ſie als an, weil, je mehr wir uns dem 90 näherten, deſto größer die gegenüberſtehende Kathete, gemeſſen durch die anliegende, gefunden wurde. In dieſem Sinne rechtfertigen ſich folgende Gleichungen, welche alle widerſinnig ausſehen, ſo lange wir uns unter O eine feſte Größe denken:

1) G a= 0. 2) ₰ 2

5= 0. 3) 0. 4) OO 1 0O ſ= O'.

5 n n— 1+ n— 2— n(2(*(= 2 5) OOn O 1= Oon 2...= OO. 6)(9s.]= G S) 5..

Anmerkung. 1) Je größer eine Zahl, deſto weniger wird ſie durch Zufügen oder Abzählen einer conſtant bleibenden geändert. Aus 2) und 3) erkennt man, daß der O ebenſo wie dem o ein Verhältnißbegriff beigelegt werden kann. 3) heißt: je kleiner ein Nenner bei conſtantem Zähler wird, deſto größer wird der Bruchwerth. 4) läßt ſich(G0 ℳ 1) OC ſchreiben und auf 1) reduciren. 5) iſt nur das verallgemeinerte 4). Sie lehren: je größer eine Zahl iſt, deſto eher laſſen ſich ihre niederen Potenzen gegen ihre höheren vernachläſſigen. Bei 6): je kleiner eine Zahl, deſto eher verſchwinden die höheren Potenzen gegen die niedrigſte.

Aus den vorhin angeführten Beiſpielen ergab ſich ſchon, daß wir uns eines Reſultats, das ſich an und für ſich unſerer Beurtheilung entzog, durch die Betrachtung der Reſultate bemächtigen können, deren Voraus⸗ ſetzungen denen des geſuchten Falles in ſtetigem Fortſchritt näher und näher kommen. Einige Beiſpiele an Curven ſollen nun zeigen, wie ein ähnliches Princip zu neuen Ergebniſſen und Begriffen die Bahn bricht.

§. 2. Wenn man für einen Punkt o der Parabel pos(Fig. l.) die Richtung der Tangente wiſſen will, ſo könnte man davon ausgehen, daß der Winkel, den ſie mit der Axe macht, größer als«l ſein muß, weil die im ½̃ a durch o gezogene Linie Sehne iſt und die Parabel noch in p trifft. Je näher aber, wenn dieſe