Zur Einführung in die Differentialrechnung.

Nicht, um zur Erledigung der vielbeſprochnen Frage beizutragen, ob die Differentialrechnung zum Curſus der Mathematik auf Gymnaſien zu fügen ſei, iſt das Nachſtehende entworfen; denn es läßt ſich dieſe Frage nicht ſo kurz und für alle Umſtände gültig beantworten.

Soviel zwar hat gewiß ſeine Richtigkeit, wie es denn auch neuerdings mehrfach, beſonders von Schlö⸗ milch ausgeſprochen worden iſt, daß die Schwierigkeit dieſes Zweiges, wie er ſich jetzt behandeln läßt, ihn nicht auszuſchließen brauche. Denn an die Stelle der„metaphyſiſchen Unterſuchungen“, die früher eine ſo be⸗ liebte Einleitung zur Differentialrechnung ausmachten, iſt jetzt eine einfach klare Faſſung des Grenzbegriffs getreten, der alſobald herausſpringt, wenn zwiſchen den elementaren Kategorien der Gleichung und Ungleichung als Verbindungsglied die Näherungsgleichung eingeführt wird— lauter Dinge, die einem ſonſt wohlge— ordneten Verſtande nach Zurücklegung der Elemente nicht ſo große Schwierigkeiten mehr bereiten können.

Im Uebrigen wäre dem Schüler auf der oberſten Stufe der Vorbereitung ein Blick in das neue Land wohl zu gönnen. Er wäre damit an der Hand des näheren Lehrers noch über eine Schwelle geführt, die ihm, wenn er ſie, ſich ſelbſt überlaſſen, überſchreiten ſoll, doch noch manche Verlegenheit und Irrung zu bereiten pflegt. Ein Blick in die Formen- und Gedankenfülle, welche ſich in dem neuen Bereich aufthut, möchte wohl auch öfter, als es bisher der Fall war, den jungen Akademiker verlocken, ſeine mathematiſchen Kenntniſſe, auch wenn ſie nicht in näherer Beziehung zu ſeinem ſpeciellen Fach ſtehen, weiter fortzubilden— eine Extravaganz, die er ſchwerlich zu bereuen hätte. Doch— Kürze der Zeit! dies eine Wort macht alle weiteren Gründe überflüſſig.

Hier nur ein beſcheidner Vermittelungsvorſchlag: Wo der Schüler der oberſten Claſſe bei zweijährigem Curs von einer Wiederholung ganz oder theilweiſe dispenſirt werden kann, möge es ihm erlaubt ſein, ſich — wie mit irgend einer andern Aufgabe— ſo auch mit den Elementen der Analyſis als einer Privatarbeit zu beſchäftigen. Dieſen Privatſtudien ihre erſte Beihülfe zu gewähren, iſt der nächſte Zweck des nachfolgenden Entwurfs. Die Vorausſetzungen gehen nicht über die Elementarmathematik(einſchließlich der Trigonometrie, des Binom's für ganze poſitive Exponenten und der analytiſchen Behandlung der Kegelſchnitte) hinaus. Na⸗ türlich iſt die Ausdehnung demgemäß beſchränkt. Daß für den bezeichneten Zweck der Weg der ſtrengſten All⸗ gemeinheit anfänglich durch den der Induction erſetzt und ſpäter erſt wiedergewonnen wird, rechtfertige ſich aus der Regel der Pädagogik: Abſtraction aus Concretem! Begriffe aus Anſchauungen!

Vorbereitung: Näherungsgleichungen.

§. 1. Schon in den Anfangsgründen der Arithmetik, wie in denen der Geometrie werden in manchen Fällen Berechnungen geführt, von denen man einſieht, daß ſie nie zu einem feſten vollſtändigen Reſultate führen können. So bei der Verwandlung der meiſten Brüche in Decimalbrüche, ferner bei den Wurzelausziehungen, endlich in der Planimetrie, wenn der Umfang des Kreiſes durch den Radius oder die Fläche des Kreiſes durch

das Quadrat des Radius gemeſſen werden ſollte. 1