==— von dem Außenraume trennen, Alsdann kann es ſich nämlich ereignen, daß zwei oder mehr Central⸗ ecken ſich theilweiſe oder ganz decken, wenn ſie von dem Punkte im Polyeder nach Seitenflächen gehen, welche einſpringende Kanten gemein haben.
Wir betrachten ein ſolches Polyeder als zuſammengeſetzt aus mehrexen einfachen unſter Definition, und ſchneiden es durch Ebenen in Theile, für welche obige Relationen gelten. Ein ſolcher Schnitt ſei das Vieleck abede.(Fig. 9) von welchem p Ecken a, b,c- auf Ecken und q Ecken de... auf Kanten des Polyeders liegen. Wenn wir die Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen des Polyeders mit E, K und F, die der beiden Theile, in welche es durch den Sonits verlegt witd durch Eete A 6 k“, und k,o“) bezeichnen, ſo iſt leicht nachzuweiſen, daß:: nid nde enn umu= 2ic
e+‿ E † p+ 2; 1.1eek. 4-4 3: K† k'= K* 3 q Pi
Da für die Theile die Formel(3) gilt, ſo iſt:
ev—,= K 2 e“+ fu—— k“+ 2 1. l 1—(. † da 4 Gℳ en+† 6 4+ 5 N Pt 4. E Die e obigen Werthe eingeſetzt, liefernd? mininn 32 171 lenzmle aid.. u g h Nhn in, 1 i ep 29 re sekepeaTSen mi unk IDzule 14 1 9 1 u E„* F“ K 82 29tchn, 0: ftI2409
14. Legt man durch die Kanten einer regelmäßigen Ecke Ebenen, welche die Flächenwinkel der Ecke halbiren, ſo ſchneiden ſich, wie leicht zu zeigen, alle dieſe Ebenen in einer Geraden, welche durch die Spitze der Ecke geht, und, welche wir die Mittellinie der Ecke nennen wollen. Wenn man nun eine Ebene ſenkrecht auf dieſe Mittellinie ſtellt, ſo iſt der Schnitt derſelben mit der Ecke ein regel⸗ mäßiges Polygon. Verfährt man ſo bei allen regelmäßigen congruenten Centralecken um einen Punkt, indem man die Abſtände auf den Mittellinien gleich nimmt, ſo erhält man die Oberfläche eines Polyeders, welche aus regelmäßigen congruenten Polygonen zuſammengeſetzt iſt. Die Mittellinien der Central⸗ ecken bilden unter ſich congruente regelmäßige Ecken, welche die Suplementarecken der Ecken des Polyeders ſind. Dieſe letzteren ſind alsdann ebenfalls regelmäßig und congruent, und damit alle Flächenwinkel
und Kantenwinkel des Pohyeders bezglich einander gleich. Man nennt ein ſolches Poleden regel⸗ 110 4im mäßig. Behalten wir die Bezeichnungen des 8 9 bei, ſo erha⸗ ten wir 8 Pnrm= Seiten⸗
flächen von je u Ecken, von welchen immer m in einer Ece des Polyeders Wuiaumeafalen Die
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n Ecken der einzeinen Seitenſlächen werden alſo— Ecken des Polpederg bilden; die Anzahl der
Ecken iſt alſo; e I Pifka e. 1n. Die Anzahl d der Flaͤchen verhäͤlt ſich zu der der Ecken, wie m: n.
Von den congruenten regelnsißigen Centralecken kommt man noch auf einem anderen Wege zu den regelmäßigen Polyedern. Stellt man nämlich in gleichen Abſtänden von dem Mittelpunkte Ebenen ſenkrecht auf die Strahlen, ſo bilden dieſe Ebenen die Suplementarecken der Centralecken, welche auch regelmäßig ſein müſſen. Die Spitzen der Suplementarecken liegen auf den Mittellinien der Central⸗ ecken, und hier ſtoßen u gleiche Kantenwinkel zuſammen. Die zwei Kanten der Suplementarecken, welche auf einer Seitenfläche einer Centralecke nach beiden Seiten hin ſenkrecht ſtehen, fallen in eine Gerade und bilden eine Kante des Polyeders. m ſolcher Kanten umſchließen ein regelmäßiges Polygon, da ſie alle einander gleich ſind, und gleiche Winkel mit einander bilden. Somit iſt das von den Seiten⸗ flächen der Suplementarecken begrenzte Stück Raum ein regelmäßiges Polyeder. Die Anzahl der Flächen