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: 0d niut ilö 1232) noruon* bi rochloer llnick. 1 berſn 2 9099) 214 ni it in Deſem Falle: 24 2in— 1 25 un ee eer Cen. me— ereran+ 2m 1 Die beiden Polyeder, welche man nach dieſen beiden Lerfährungsweiſen, aus denſelben Central⸗ ecken erhalt, ſtehen demnach in dem Zuſammmenhangey daß, wenn man den Mittelpunkt kiner Seiten⸗ fläche des einen Polyeders mit den Mittelpunkten der varanſtoßenden Flächen verbindet, man die Kanten des anderen Polynders erhät, und das eine ſo viel Ecken hat als das andre Seitenflächen und umgekehrt. od od Bildet man nun aus den möglichen regelmäßigen Centrgalecken des 8⁰9 die möglichen regel⸗ mäßigen Polyeder, ſo erhält man, indem man die Weutze li m unden in die letzten Formeln einſetzt: Nach der erſten⸗ Vexjahrungsweiſe:—) 19=—( Nach der zzweiten Verfahrungsweiſe: n= 3, m— 82 s= 4, e= 49 das Tetraeder; 40 8— 4, e= 4, das Tetraeder. am., 2)04 eAehs 519 Sinet„daͤs Oeluider; Sechlaut 67—8 92 Fiadis Hexckeder.
12 i⸗ m=, s= 20/jes= 12, das Ikoſaeder; morr 8☛f 2, e4 20, das Dodekaeder.⸗
n= me=— 6, e= 8, das Heraeder; 8= 8, e= 6 das Octaeder. 76 1/*„ n=.,5, IM Kr 3: u 12; e'24 20, das Dode tiide 5“ 3,26,5 12 dab Iksſatder. 5 = HPa'd 2uρρν ⁷½⁴ loduf 121 fi af Pd Jellnro b id b'd 2159 2ti?urz 2nio 120uch . 92 l9= 4— 96 I Q= PPA'⁴ auo aid Hi 1r*ꝗ2. m9-19 120 0 chfratnll. 8 08 80 80 1
Die Kugel. 190 M hfrd aid unna riot Sunraic.
15. In den Fällen 4, 6 und 8 des§ 9 hatten wir unendlich viele Centralecken, deren Inhalt unendlich klein. Conſtruirt man in dieſe Ecken die regelmäßigen Polyeder, ſo gehen die unendlich kleinen ebenen Seitenflächen in eine einzige gekrümmte Oberfläche über, welche in allen ihren Punkten gleichweit von dem Centrum abſteht; man erhält die Kugel. Schneidet eine Ebene die Kugeloberfläche, ſo iſt der Schnitt ein Kreis, und geht die Ebene durch den Mittelpunkt, ein größter Kreis.
Legt man eine n⸗kantige Ecke mit der Spitze in das Centrum einer Kugel, ſo ſchneiden die Seitenflächen der Ecke die Kugel in größten Kreiſen. Dasjenige Stück der Kugeloberfläche, welches innerhalb der Ecke liegt, nennt man eine ſphäriſche Figur. Die Bogen der größten Kreiſe, welche die Seiten der ſphäriſchen Figur ſind, entſprechen den Kantenwinkeln der Ecke, und die Winkel, unter welchen ſich dieſe Bogen oder die Tangenten an denſelben an den Ecken der ſphäriſchen Figur treffen, haben eben ſo viele planimetriſche Grade, als die Flächenwinkel der Ecke ſtereometriſche Grade haben.
Nach(1) ſind die Grenzen für die Winkelſummen einer ſphäriſchen Figur:
IWw Z2n RS=(2 n— 4) R; nach(2) die Grenzen für die Seitenſumme. 2S=4 R= oo, wobei eine ſphäriſchen Figur immer kleiner, als die halbe Kugeloberfläche ſein muß.
Theilt man die ganze Kugeloberfläche in 360 gleiche Theile, und nennt man einen Theil einen ſphäriſchen Grad, ſo hat die eine ſphäriſche Figur ebenſoviele ſphäriſche Grad, als die dazugehörige Ecke ſtereometriſche Grad hat. Nach(1) iſt alsdann der Whoit einer ſphäriſchen Figur:
J Cn=o h 2
16. Hat eine regelmäßige Ecke unendlich viel Kanten, ſo gehen die unendlich kleinen ebenen Seitenflächen in eine einzige gekrümmte Fläche über; wir erhalten den unendlichen Kegel. Die Ober⸗ flaͤche, Fl. O des Kegels bod(Fig. 10), oder die Summe der unendlich kleinen Kantenwinkel, iſt,