ap ie Stenente der Geometrie des kVeunes.

Miacheb 22 Da dentwickelt von n n P R. Marx. 1Ann* In dem Programme des Warmſer Gyunaſtums für 1866 habe ich eine Abhandlung üher die Elemente der ebenen Geometrie veröffentlicht, und ich gebe hiermit die Fortſetung derſelben auf dem Gebiete der Geometrie des Raumes. Der planimetriſche Winkel wurde dort als das neudüche Stüc Ehene zwiſchen zwer Geraden defimirt. Aus dieſer Begriffsbeſtimmung ergaben ſich alle Sätze über die Winkel ſo von ſelbſt, daß es nur eines Ableſens derſelben aus der Figur bedurfte, und kein anderer Beweis nöthig war, als zu zeigen, daß das unendliche Stück Ebene, das wir als Winkel bezeichnen, nicht durch das Zulegen eines endlichen Stückes der Ebene, auch nicht durch das Zulegen eines Streifens, d. h. eines unendlichen Stückes zwiſchen 2 Parallelen, vergrößert werde. Die Ausdehnung des befolgten Prinzips auf den Raum liefert den einen Theil der folgenden Entwicklung, die Sätze über die ſtereometriſchen oder die Flächenwinkel, analog den Sätzen über die planimetriſchen oder die Linienwinkel.— Wurde nun der Flächenwinkel als das unendliche Stück Naum zwiſchen zwei Ebenen angeſeheu, ſo lag es nahe, die Ecke von demſelben Geſichtspunkte aus zu betrachten, und ihren Inhalt als ein unendliches Stüůck Raum, das von mehreren Ebenen begrenzt wird, mit dem Inhalte des, Flächenwinkels zu vergleichen. Der dadurch gewonnene Ausdruc der Größe einer Ecke, liefert die Eigenſchaften der Ecken und der Körper in dem andern Theile dieſer Abhandlung.—, Bemerke ich, noch, n daß alle Sätze uͤber Comhi⸗ nationen von Ebenen und Geraden, welche eigentlich den Uebergang von der Geometrie, der Ebene zu der des Raumes bilden, hier weggelaſſen ſind. Ein Winkel wiſchen einer Ebene, und Geraden exiſtirt nicht, denn die Lage einer Gexraden gegen eine Ebene wird durch einen planimetriſchen Winkel zwiſchen zwei Geraden beſtimmtz es athnnän) die berreſſenden Sätze alſo nicht. nah higen Pminape neu ent⸗ wickelt werden.„)„uni N TIA Ah

run 395 rach I aig Die Winkel. 2* Non.

1. Eine Ebene ſchnedet den allgemeinen Raum in zwei Theile, melche, unter ich als gleich erkannt werden müſſen, von welchen alſo jeder den halben allgemeinen Raum ausmacht.

2. Zwei Ebenen theilen, wenn ſie ſich ſchneiden, den allgemeinen Raum in vier Stücke. Wir nennen ein jedes Stück einen Flächenwinkel, und die Gerade, in welcher ſich die Ebenen ſchneiden, die Kante des Flächenwinkels. Ein Flächenwinkel wird derart von den beiden Ebenen begrenzt, daß man durch jeden Punkt desſelben nur eine Gerade legen kann, welche keine der beiden Ebenen trifft Gparallel der Kante); jede andere Gerade geht entweder auf der einen Seite des Punktes durch eine oder beide Ebenen, oder auf beiden Seiten durch die beiden Ebenen. Man kann Flächenwinkel zu einander addiren oder von einander ſubtrahiren, und erhält als Summe oder Differenz wieder einen Flächenwinkel.— Wird durch 2 Ebenen der allgemeine Raum in 4 Stücke geſchnitten, welche unter ſich gleich ſind, ſo nennen wir jedes Stück einen rechten Flächenwinkel, und ſagen, die beiden Ebenen